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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 27

Em cada um dos problemas de 21 a 28:

Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.

Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.

y ' ' + 3 y ' + 2 y = e t t 2 + 1 sen ⁡ 2 t + 3 e - t cos ⁡ t + 4 e t  

Passo 1

A solução específica contém os termos de e t t 2 + 1 sen ⁡ 2 t + 3 e - t cos ⁡ t + 4 e t   .

Vamos usar como base a tabela 3.5.1 do capítulo 3 (seção 5), e analisaremos os casos equivalentes mostrados na tabela.

E por fim, temos o caso 3: P n t e α t ( sem ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n sem ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t :

Nós temos e t ( t 2 + 1 ) sen ⁡ 2 t , onde β = 2 , n = 2 e α = 1 :

Y 1 = ( A o t 2 + A 1 t + A 2 ) e t sen ⁡ 2 t + ( B o t 2 + B 1 t + B 2 ) e t cos ⁡ 2 t

Nós temos 3 e - t cos ⁡ t , onde β = 1 , n = 0 e α = - 1 :

Y 2 = D e - t cos ⁡ t + E e - t sen ⁡ t

O próximo, é equivalente ao Caso 2: P n t e α t = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n .

Nós temos 4 e t , onde n = 0 e α = 1 :

Y 3 = F e t

A solução Y será dada por: Y = Y 1 + Y 2 + Y 3

Y = ( A o t 2 + A 1 t + A 2 ) e t sen ⁡ 2 t + ( B o t 2 + B 1 t + B 2 ) e t cos ⁡ 2 t + D e - t cos ⁡ t + E e - t sen ⁡ t + F e t

Passo 2

Podemos encontrar as raízes computacionalmente ultilizando um software simples online (como é o caso do Wolfram Alpha e Symbolab). As raízes encontradas são :

A 0 = 1 52 ;   A 1 = 10 169 ; A 2 = - 1233 35,152 ;  

B 0 = - 5 52 ; B 1 = 73 676 ; B 2 = - 4105 35,152

D = - 3 2   ; E = 3 2 ;   F = 2 3

Resposta

(a) Y = ( A o t 2 + A 1 t + A 2 ) e t sen ⁡ 2 t + ( B o t 2 + B 1 t + B 2 ) e t cos ⁡ 2 t + D e - t cos ⁡ t + E e - t sen ⁡ t + F e t

(b) A 0 = 1 52 ;   A 1 = 10 169 ; A 2 = - 1233 35,152 ;  

B 0 = - 5 52 ; B 1 = 73 676 ; B 2 = - 4105 35,152

D = - 3 2   ; E = 3 2 ;   F = 2 3

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