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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 17

Em cada um dos problemas de 15 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

y ' ' - 2 y ' + y = t e t + 4 ,             y 0 = 1 ,   y ' 0 = 1

Passo 1

Primeiro encontre a solução homogênea.

y ' ' - 2 y ' + y = 0

Então:

r 2 - 2 r + 1 = 0

r = 1

A solução homogênia para um problema com duas raízes iguais, pode ser dado por:

y c = c 1 e t + c 2 t e t

Passo 2

A solução não homogênea pode ser dada por:

Y 1 = A t 2 e t + B t 3 e t

Y 2 = 4

Colocando Y 1 na EDO, teremos:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

A t 2 e t + B t 3 e t ' ' - 2 A t 2 e t + B t 3 e t ' + A t 2 e t + B t 3 e t = t e t

Diferenciando y ' ' :

2 A t e t + A t 2 e t + 3 B t 2 e t + B t 3 e t ' - 2 2 A t e t + A t 2 e t + 3 B t 2 e t + B t 3 e t + A t 2 e t + B t 3 e t = t e t

Abrindo o cálculo, teremos:

2 A e t + 2 A t e t + 2 A t e t + A t 2 e t + 6 B t e t + 3 B t 2 e t + 3 B t 2 e t + B t 3 e t - 4 A t e t - 2 A t 2 e t - 6 B t 2 e t - 2 B t 3 e t + A t 2 e t + B t 3 e t = t e t

Dividindo ambos os lados por e t , teremos:

t 3 B - 2 B + B + t 2 A + 3 B + 3 B - 2 A - 6 B + A + t 4 A + 6 B - 4 A + 2 A = t

Isolando os termos em comum, podemos determinar que:

A = 0

6 B = 1

B = 1 6

A solução geral, pode ser dada por:

y = y c + Y 1 + Y 2

y = c 1 e t + c 2 t e t + 4 + 1 6 t 3 e t

Passo 3

Agora, podemos encontrar c 1 e c 2 aplicando nas condições dadas.

y = c 1 e t + c 2 t e t + 4 + 1 6 t 3 e t

Nesse caso, a primeira condição é y 0 = 1 , então t = 0 :

y 0 = c 1 e 0 + c 2 0 e 0 + 4 + 1 6 0 3 e 0 = 1

c 1 + 4 = 1

c 1 = - 3

A nova solução será:

y = - 3 e t + c 2 t e t + 4 + 1 6 t 3 e t

Diferenciando, podemos aplicar a outra solução y ' 0 = 1 :

y ' = - 3 e t + c 2 e t + c 2 t e t + t 2 e t 3 + 1 6 t 3 e t

y ' 0 = - 3 + c 2 = 1

c 2 = 4

Dessa forma, a solução geral será:

y = - 3 e t + 4 t e t + 4 + 1 6 t 3 e t

Resposta

y = - 3 e t + 4 t e t + 4 + 1 6 t 3 e t

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Considere a equação y ' ' - 3 y ' + 4 y = 2 e - t Lembre-se de que y 1 t = e - t e y 2 t = e 4 t são soluções da equação homogênea associada. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque
Se g ( t ) = d , uma constante, mostre que toda solução da E q .( i ) tende a d / c quando t → ∞ . O que acontece se c=0 ?
Siga as instruções no Problema 31 para resolver a equação diferencial y ' ' + 2 y ' + 5 y =1 ,0 ≤ t ≤π / 20 ,t π / 2 com condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .
Em cada um dos Problemas de 36 a 39, use o método do Problema 35 para resolver a equação diferencial dada. 2 y ' ' + 3 y ' + y = t 2 + 3 sen ⁡ t