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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 15 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 4 e - t cos ⁡ 2 t ,             y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Primeiro encontre a solução homogênea.

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 0

Então:

r 2 + 2 r + 5 = 0

r = - 2 ± 4 - 20 2.1 = - 2 ± 4 i 2 = - 1 ± 2 i

A solução homogênia para um problema com duas raízes complexas, pode ser dado por:

y c = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t

Passo 2

Podemos dizer que g t = 4 e - t cos ⁡ 2 t é a combinação de um polinômio com a função trigonométrica cosseno, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados (utilizando a tabela 3.5.1), podemos determinar:

Y = A t e - t cos ⁡ 2 t + B t e - t sen ⁡ 2 t

Podemos reescrever como:

Y = t e - t A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t

Calculando as derivadas de Y , teremos:

Y ' = ( t e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t ) '  

= e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t ) - t e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t ) + t e - t ( - 2 A sen ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t )  

Y ' = e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t ) + t e - t ( - A + 2 B cos ⁡ 2 t + - 2 A - B sen ⁡ 2 t )

Calculando a segunda derivada, teremos:

Y ' ' = - e - t ( A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t ) + e - t - 2 A sen ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t + e - t - A + 2 B cos ⁡ 2 t + - 2 A - B sen ⁡ 2 t - t e - t ( - A + 2 B cos ⁡ 2 t + - 2 A - B sen ⁡ 2 t + t e - t ( - 2 - A + 2 B sen ⁡ 2 t - 2 2 A + B cos ⁡ 2 t )

Y ' ' = e - t cos ⁡ 2 t   - 2 A + 4 B + e - t sen ⁡ 2 t - 2 B - 4 A + t e - t cos ⁡ 2 t - 3 A - 4 B + t e - t sen ⁡ 2 t ( 4 A - 3 B )

Passo 3

Colocando essas expressões na EDO inicial, teremos:

Y ' ' + 2 Y ' + 5 Y = 4 e - t cos ⁡ 2 t

e - t cos ⁡ 2 t   ( - 2 A + 4 B ) + e - t sen ⁡ 2 t - 2 B - 4 A + t e - t cos ⁡ 2 t - 3 A - 4 B + t e - t sen ⁡ 2 t 4 A - 3 B + 2 e - t A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t + 2 t e - t ( - A + 2 B cos ⁡ 2 t + - 2 A - B sen ⁡ 2 t ) + A t e - t cos ⁡ 2 t + B t e - t sen ⁡ 2 t - 4 e - t cos ⁡ 2 t

Simplificando e unindo os termos em comum:

4 B e - t cos ⁡ 2 t - 4 A e - t sen ⁡ 2 t = 4 e - t cos ⁡ 2 t

Colocando em um sistema de equações podemos dizer que:

B = 1

A = 0

A equação particular da solução não homogênea será :

Y t = t e - t sen ⁡ 2 t

Passo 4

A solução completa pode ser dada por:

y = y c + Y

y = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t + t e - t sen ⁡ 2 t

A solução deve satisfazer as condições impostas y 0 = 1 e y ' 0 = 0 , portanto, teremos:

y 0 = c 1 e 0 cos ⁡ 0 + c 2 e 0 sen ⁡ 0 + t e 0 sen ⁡ 0 = 1

c 1 . 1 + 0 = 1

c 1 = 1

Agora, aplicando a outra condição:

y ' 0 = ( e - t c 1 cos ⁡ 2 t   + c 2 sen ⁡ 2 t + t e - t sin ⁡ 2 t ) ' ( 0 )

y ' 0 = - c 1 + 2 c 2 + 0 + 0

c 2 = 1 2

A solução para o PVI será:

y = e - t cos ⁡ 2 t + 1 2 e - t sen ⁡ 2 t + t e - t sen ⁡ 2 t

Resposta

y = e - t cos ⁡ 2 t + 1 2 e - t sen ⁡ 2 t + t e - t sen ⁡ 2 t

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