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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 28

Em cada um dos problemas de 21 a 28:

Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.

Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 3 t e - t cos ⁡ 2 t - 2 t e - 2 t cos ⁡ t

Passo 1

(a) Determine a equação característica substituindo y ' ' por r 2 , y ' por r   e y na equação diferencial:

r 2 + 2 r + 5   =   0

Determinando as raízes, podemos aplicar em Bhaskara:

r = - 2 ± 2 2 - 4 ( 1 ) ( 5 ) 2 ( 1 ) = - 2 ± 4 i 2 = - 1 ± 2 i

Onde a parte real é a = - 1 e a parte imaginária é b = 2 .

A solução homogênea é então a soma de dois termos exponenciais com essas raízes no poder:

y t = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t

Passo 2

A solução específica contém os termos de 3 t e - t cos ⁡ 2 t - 2 t e - 2 t cos ⁡ t   .

Vamos usar como base a tabela 3.5.1 do capítulo 3 (seção 5), e analisaremos os casos equivalentes mostrados na tabela.

E por fim, temos o caso 3: P n t e α t ( sem ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n se n ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t :

Nós temos 3 t e - t cos ⁡ 2 t , onde β = 2 , n = 1 e α = - 1 :

Y 1 = e - t A o t + A 1 cos ⁡ 2 t + e - t B o t + B 1 sen ⁡ 2 t

Nós temos 2 t e - 2 t cos ⁡ t , onde β = 1 , n = 1 e α = - 2 :

Y 2 = e - 2 t D o t + D 1 cos ⁡ t + e - 2 t E o t + E 1 sen ⁡ t

A solução Y será dada por: Y = Y 1 + Y 2

Y = e - t A o t + A 1 cos ⁡ 2 t + e - t B o t + B 1 sen ⁡ 2 t + e - 2 t D o t + D 1 cos ⁡ t + e - 2 t E o t + E 1 sen ⁡ t

Como o termo e - t está presente na solução homogênea, nos permitindo multiplicar o termo por t :

Y = t e - t A o t + A 1 cos ⁡ 2 t + t e - t B o t + B 1 sen ⁡ 2 t + e - 2 t D o t + D 1 cos ⁡ t + e - 2 t E o t + E 1 sen ⁡ t

Passo 3

Podemos encontrar as raízes computacionalmente ultilizando um software simples online (como é o caso do Wolfram Alpha e Symbolab). As raízes encontradas são :

A 0 = 0 ;   A 1 = 3 16 ;

B 0 = 3 8 ; B 1 = 0 ;

D 0 = - 2 5 ; D 1 = - 7 25 ;

E 0 = 1 5 ; E 1 = 1 25 ;

Resposta

(a) Y = t e - t A o t + A 1 cos ⁡ 2 t + t e - t B o t + B 1 sen ⁡ 2 t + e - 2 t D o t + D 1 cos ⁡ t + e - 2 t E o t + E 1 sen ⁡ t

(b)

A 0 = 0 ;   A 1 = 3 16 ;

B 0 = 3 8 ; B 1 = 0 ;

D 0 = - 2 5 ; D 1 = - 7 25 ;

E 0 = 1 5 ; E 1 = 1 25 ;

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