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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 30

Determine a solução geral de

y^(' ') + lambda^2 y = sum_(m = 1)^N a_m sen m pi t

em que lambda > 0 e lambda != m pi para m = 1 , . . . , N .

Passo 1

Primeiro, encontramos a solução para a equação homogênea correspondente.

y^(' ') + lambda^2 y = 0

Se :

r^2 + lambda r = 0

r = +- lambda i

A solução geral homogênea será dada por:

c_1 cos lambda t + c_2 sen lambda t

Então fazemos uma hipótese para a forma da função que compõe a soma:

Y_m (t) = A sen (m pi t)

A primeira derivada de nossa solução específica.

Y '_m (t) = A m pi co s (m pi t)

A segunda derivada de nossa solução específica.

Y ' '_m (t) = - A m^2 pi^2 s en (m pi t)

Substituindo esses valores na EDO, teremos:

Y ' '_m (t) + lambda^2 Y_m (t) = a_m sen (m pi t)

Colocando os valores calculados:

- A m^2 pi^2 sen (m pi t) + lambda^2 A m pi cos (m pi t) = a_m sen (m pi t)

A (lambda^2 - m^2 pi^2) = a_m sen (m pi t)

Isolando A , teremos:

A = (a_m sen (m pi t))/(lambda^2 - m^2 pi^2)

A solução geral será dada por:

Y = c_1 cos lambda t + c_2 sen lambda t + sum_(m = 1)^N (a_m sen (m pi t))/(lambda^2 - m^2 pi^2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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