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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 29

Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.

t 2 y ' ' - 2 t y ' + 2 y = 4 t 2 ,     t > 0 ;     y 1 t = t

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o método do problema 28, que se baseia em reduzir nossa equação não homogênea em uma equação de ordem inferior para conseguirmos encontrar a solução geral, partindo que já temos nossa y 1 t

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar rearranjando nossa equação. Se dividirmos toda ela por t 2 , teremos que

y ' ' - 2 t ⋅ y ' + 2 t 2 ⋅ y = 4

Agora supondo y = y 1 t ⋅ v t e substituindo na EDO, vamos ter que:

v ' ' t + 2 ⋅ v ' - 2 t ⋅ v ' ⋅ t + v + 2 t 2 ⋅ v ⋅ t = 4

v ' ' ⋅ t + 2 ⋅ v ' - 2 ⋅ v ' - 2 t ⋅ v + 2 t ⋅ v = 4

v ' ' ⋅ t = 4

v ' ' = 4 t

Se integrarmos de ambos os lados então, duas vezes, vamos chegar que

v ' = 4 ⋅ ln ⁡ t + c

v = 4 ⋅ t ⋅ ln ⁡ t - 4 t + c ⋅ t + c 2

Multiplicando todo v por y 1 vamos chegar que nossa solução será

y t = 4 ⋅ t 2 ⋅ ln ⁡ t + c - 4 ⋅ t 2 + c 2 ⋅ t

y t = 4 ⋅ t 2 ⋅ ln ⁡ t + c 1 ⋅ t 2 + c 2 ⋅ t

Resposta

y t = 4 ⋅ t 2 ⋅ ln ⁡ t + c 1 ⋅ t 2 + c 2 ⋅ t

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