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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 32

Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.

1 - t y ' ' + t y ' - y = 2 t - 1 2 e - t ,     0 < t < 1 ;       y 1 t = e t (veja o Problema 16)

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o método do problema 28, que se baseia em reduzir nossa equação não homogênea em uma equação de ordem inferior para conseguirmos encontrar a solução geral, partindo que já temos nossa y 1 t

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar rearranjando nossa equação. Se dividirmos toda ela por t 2 , teremos que

y ' ' + t 1 - t ⋅ y ' - 1 1 - t ⋅ y = 2 ⋅ t - 1 ⋅ e - t

Agora supondo y = y 1 t ⋅ v t e substituindo na EDO, vamos ter que:

v ' ' ⋅ e t + 2 e t + t 1 - t ⋅ e t ⋅ v ' = 2 1 - t ⋅ e - t

v ' ' + 2 - t 1 - t ⋅ v ' = 2 ⋅ 1 - t ⋅ e - 2 t

Aplicando uma redução, chamando v ' = w , teremos que

w ' + 2 - t 1 - t ⋅ w = 2 ⋅ 1 - t ⋅ e - 2 t

O método para resolvermos essa EDO será usando um fator integrante, na qual

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ 2 - t 1 - t d t = e t t - 1

Multiplicando o fator integrante na equação e integrando de ambos os lados, vamos chegar que

e t t - 1 ⋅ w ' + e t t - 1 ⋅ 2 - t 1 - t ⋅ w = e t t - 1 ⋅ 2 ⋅ 1 - t ⋅ e - 2 t

e t t - 1 ⋅ w ' = 2 ⋅ e - t

w = t - 1 ⋅ 2 e - 2 t + c 1 ⋅ e - t

Como w = v ' = t - 1 ⋅ 2 e - 2 t + c 1 ⋅ e - t , teremos que ao integrar novamente, vamos chegar em

v = 1 2 - t ⋅ e - 2 t - c 1 ⋅ t ⋅ e - t + c 2

Multiplicando todo v por y 1 vamos chegar que nossa solução será

y t = 1 2 - t ⋅ e - t - c 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e t

Resposta

y t = 1 2 - t ⋅ e - t - c 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e t

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