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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 30

Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.

t 2 y ' ' + 7 t y ' + 5 y = t ,     t > 0 ;     y 1 t = t - 1

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o método do problema 28, que se baseia em reduzir nossa equação não homogênea em uma equação de ordem inferior para conseguirmos encontrar a solução geral, partindo que já temos nossa y 1 t

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar rearranjando nossa equação. Se dividirmos toda ela por t 2 , teremos que

y ' ' + 7 t ⋅ y ' + 5 t 2 ⋅ y = 1 t

Agora supondo y = y 1 t ⋅ v t e substituindo na EDO, vamos ter que:

v ' ' ⋅ 1 t - 2 ⋅ v ' ⋅ 1 t 2 + 2 ⋅ v ⋅ 1 t 3 + 7 t ⋅ v ' ⋅ 1 t - v ⋅ 1 t 2 + 5 t 2 ⋅ v ⋅ 1 t = 1 t

v ' ' ⋅ 1 t + 5 t 2 ⋅ v ' = 1 t

Aplicando uma redução, chamando v ' = w , teremos que

1 t ⋅ w ' + 5 t 2 ⋅ w = 1 t

w ' + 5 t ⋅ w = 1

O método para resolvermos essa EDO será usando um fator integrante, na qual

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ 5 t d t = e 5 ln ⁡ t = t 5

Multiplicando o fator integrante na equação e integrando de ambos os lados, vamos chegar que

t 5 ⋅ w ' + 5 ⋅ t 4 ⋅ w = t 5

t 5 ⋅ w ' = 1

w ⋅ t 5 = t 6 6 + c

w = t 6 + c ⋅ t - 5

Como w = v ' = t 6 + c 1 ⋅ t - 5 , teremos que ao integrar novamente, vamos chegar em

v = t 2 12 + C 1 ⋅ t - 4 + C 2

Multiplicando todo v por y 1 vamos chegar que nossa solução será

y t = t 12 + C 1 ⋅ t - 5 + C 2 ⋅ t - 1

Resposta

y t = t 12 + C 1 ⋅ t - 5 + C 2 ⋅ t - 1

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