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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 1 a 14, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

u ' ' + ω 0 2 u = cos ⁡ ω 0 t

Passo 1

Primeiro encontre a solução homogênea do problema.

r 2 + ω 0 2 = 0

r = ± ω 0

Solução homogênea:

y c = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t

Passo 2

Podemos definir Y = A t cos ⁡ ω 0 t + B t sen ⁡ ω 0 t por que g t = cos ⁡ ω 0 e A cos ⁡ ω 0 t + B sen ⁡ ω 0 t estão na solução homogênea.

Colocando Y na EDO, teremos:

A t cos ⁡ ω 0 t + B t   sen ⁡ ω 0 t ' ' + ω 0 2 A t cos ⁡ ω 0 t + B t sen ⁡ ω 0 t = cos ⁡ ω 0 t

Derivando o termo diferenciável:

A cos ⁡ ω 0 t - A ω 0 t sen ⁡ ω 0 t + B sen ⁡ ω 0 t + B ω 0 t cos ⁡ ω 0 t ' + A ω 0 2 t cos ⁡ ω 0 t + B ω 0 2 t sen ⁡ ω 0 t = cos ⁡ ω 0 t

Diferenciando o próximo termo, teremos:

- A ω 0 sen ⁡ ω 0 t - A ω 0 sen ⁡ ω 0 t - A ω 0 2 t cos ⁡ ω 0 t + B ω 0 cos ⁡ ω 0 t + B ω 0 cos ⁡ ω 0 t - B ω 0 2 t sen ⁡ ω 0 t + A ω 0 2 t cos ⁡ ω 0 t + B ω 0 2 t sen ⁡ ω 0 t = cos ⁡ ω 0 t

Reorganizando os termos, temos:

sen ⁡ ω 0 t - 2 A ω 0 - B ω 0 2 t + B ω 0 2 t + cos ⁡ ω 0 t - A ω 0 2 t + 2 B ω 0 + A ω 0 2 t = cos ⁡ ω 0 t

Isolando os termos, podemos dizer que:

- 2 A = 0

A = 0

2 B ω 0 = 1

B = 1 2 ω 0

Substituindo em Y , teremos:

Y = A t cos ⁡ ω 0 t + B t sen ⁡ ω 0 t

Logo:

Y = t 2 ω 0 sen ⁡ ω 0 t

A solução geral será dada por:

y = y c + Y

Então, teremos:

y = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t + t 2 ω 0 sen ⁡ ω 0 t

Resposta

y = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t + t 2 ω 0 sen ⁡ ω 0 t

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