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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 19

Em cada um dos problemas de 15 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

y ' ' + 4 y = 3 sen ⁡ 2 t ,             y 0 = 2 ,     y ' 0 = - 1

Passo 1

Primeiro encontre a solução homogênea.

y ' ' + 4 y = 0

Então:

r 2 + 4 = 0

r = ± 2 i

A solução homogênia para um problema com duas raízes iguais, pode ser dado por:

y c = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sen ⁡ 2 t

Passo 2

A solução não homogênea Y pode ser dada por:

Y = A t cos ⁡ 2 t + B t sen ⁡ 2 t

Colocando Y na EDO:

y ' ' + 4 y = 3 sen ⁡ 2 t

Substituindo Y , teremos:

A t cos ⁡ 2 t + B t sen ⁡ 2 t ' ' + 4 A t cos ⁡ 2 t + B t sen ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t

Diferenciando a y ' ' pela primeira vez, teremos:

A cos ⁡ 2 t - 2 A t sen ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t + 2 B t cos ⁡ 2 t ' + 4 A t cos ⁡ 2 t + 4 B t sen ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t

Diferenciando novamente, temos:

- 2 A sen ⁡ 2 t - 2 A sen ⁡ 2 t - 4 A t cos ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t - 4 B t sen ⁡ 2 t + 4 A t cos ⁡ 2 t + 4 B t sen ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t

Isolando os termos em comum, teremos:

sen ⁡ 2 t - 2 A - 2 A + cos ⁡ 2 t 2 B + 2 B + t sen ⁡ 2 t - 4 B + 4 B + t cos ⁡ 2 t - 4 A + 4 A = 3 sen ⁡ 2 t

Isolando os termos, podemos determinar que:

B = 0

- 4 A = 3

A = - 3 4

A solução geral, pode ser dada por:

y = y c + Y

Substituindo, temos:

y = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sen ⁡ 2 t - 3 4 t cos ⁡ 2 t

Passo 3

Agora, podemos encontrar c 1 e c 2 aplicando nas condições dadas.

y = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sen ⁡ 2 t - 3 4 t cos ⁡ 2 t

Nesse caso, a primeira condição é y 0 = 2 , então t = 0 :

y 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 - 3 4 0 cos ⁡ 0 = 2

c 1 = 2

A nova solução será:

y = 2 cos ⁡ 2 t + c 2 sen ⁡ 2 t - 3 4 t cos ⁡ 2 t

Diferenciando, podemos aplicar a outra solução y ' 0 = - 1 :

y ' = - 4 sen ⁡ 2 t + 2 c 2 cos ⁡ 2 t - 3 4 cos ⁡ 2 t + 3 2 t sen ⁡ 2 t

y ' 0 = 0 + 2 c 2 - 3 4 + 0 = - 1

2 c 2 = - 1 4

c 2 = - 1 8

Dessa forma, a solução geral será:

y = 2 cos ⁡ 2 t - 1 8 sen ⁡ 2 t - 3 4 t cos ⁡ 2 t

Resposta

y = 2 cos ⁡ 2 t - 1 8 sen ⁡ 2 t - 3 4 t cos ⁡ 2 t

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