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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 25

Em cada um dos problemas de 21 a 28:

Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.

Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 2 t 2 + 4 t e 2 t + t sen ⁡ 2 t  

Passo 1

(a) Determine a equação característica substituindo y ' ' por r 2 , y ' por r   e y na equação diferencial:

r 2 - 4 r + 4   =   0

r - 2 2

r = 2

A solução homogênea é então a soma de dois termos exponenciais com essas raízes no poder:

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

Passo 2

A solução específica contém os termos de 2 t 2 + 4 t e 2 t + t sen ⁡ 2 t .

Vamos usar como base a tabela 3.5.1 do capítulo 3 (seção 5), e analisaremos os casos equivalentes mostrados na tabela.

Caso 1: P n t = t s ( A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n ) .

Nosso polinômio é 2 t 2 , onde n = 2 , a solução Y 1 será:

Y 1 = A o t 2 + A 1 t + A 2

O próximo, é equivalente ao Caso 2: P n t e α t = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n .

Nós temos 4 t e 2 t , onde n = 1 e α = 2 :

Y 2 = B o t + B 1 e 2 t

E por fim, temos o caso 3: P n t e α t ( sem ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n sem ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t :

Nós temos sen ⁡ 2 t , onde β = 2 , n = 1 e α = 0 :

Y 3 = D o t + D 1 sen ⁡ 2 t + E o t + E 1 cos ⁡ 2 t

A solução Y será dada por: Y = Y 1 + Y 2 + Y 3

Y = A o t 2 + A 1 t + A 2 + B o t + B 1 e 2 t + D o t + D 1 sen ⁡ 2 t + E o t + E 1 cos ⁡ 2 t

O termo e 2 t está presentes na solução homogênea, nos permitindo multiplicar esses dois termos por t 2 para ser diferente de t e 2 t :

Y = A o t 2 + A 1 t + A 2 + t 2 B o t + B 1 e 2 t + D o t + D 1 sen ⁡ 2 t + E o t + E 1 cos ⁡ 2 t

Passo 3

Podemos encontrar as raízes computacionalmente ultilizando um software simples online (como é o caso do Wolfram Alpha e Symbolab). As raízes encontradas são :

A 0 = 1 2 ;   A 1 = 1 ; A 2 = 3 4 ;  

B 0 = 2 3 ; B 1 = 0 ;

D 0 = 0 ; D 1 = - 1 16 ;

E 0 = 1 8 ; E 1 = 1 16 ;

Resposta

(a) Y = A o t 2 + A 1 t + A 2 + t 2 B o t + B 1 e 2 t + D o t + D 1 sen ⁡ 2 t + E o t + E 1 cos ⁡ 2 t

(b) A 0 = 1 2 ;   A 1 = 1 ; A 2 = 3 4 ;  

B 0 = 2 3 ; B 1 = 0 ;

D 0 = 0 ; D 1 = - 1 16 ;

E 0 = 1 8 ; E 1 = 1 16 ;

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