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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 4

Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da soluçãodo problema de valor inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare osresultados comos obtidos pelométodo de Euler e pelométodo de Euler inverso na Seção 8.1 e com a solução exata (se disponível).

(a) Useo método de Euler aprimoradocom h   =   0,05 .

(b) Useo método de Euler aprimoradocom h   =   0,025 .

(c) Use o método de Euler aprimorado com h   = 0,0125 .

4. y ' = 2 t + e - t y ,       y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre método de E u l e r aperfeiçoado.

Olha só! A fórmula aperfeiçoada de E u l e r para a equação diferencial do nosso problema será...

y n + 1 = y n + h 2 2 t n + e - t n y n + h 2 2 t n + 1 + e - t n + 1 K n

Sendo que K n é igual à...

K n = y n + h 2 t n + e - t n y n

Na prática, o que estamos fazendo é uma iteração dentro de outra iteração. Voltando ao que interessa, não podemos esquecer que...

t n = t 0 + n h

Com t 0 = 0 ...

Desse modo, nossa expressão geral y n + 1 vai ser...

y n + 1 = y n + h 2 2 t n + e - t n y n + h 2 2 t n + 1 + e - t n + 1 K n

y n + 1 = y n + h 2 2 n h + e - n h y n + h 2 2 n + 1 h + e - n + 1 h K n

Agora vamos dar um jeito de resolver esse problema computacionalmente.

Passo 2

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo...

P a s s o   1 : D e f i n i r   a   f u n ç ã o   d e   i t e r a ç ã o   y n + 1

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   e   d o   v a l o r   i n i c i a l   y ( 0 )

P a s s o   3 : F a z e r   n   r e c e b e r   0 ,   p a r a   q u e   e l e   v e n h a   a   s e r   i n c r e m e n t a d o   e m   n o s s o s   c ó d i g o

P a s s o   4 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   T A M   d e   0 . 4 h   f a ç a  

P a s s o   5 :  

K n = y n + h 2 n h + e - n h y n

y n + 1 = y n + h 2 2 n h + e - n h y n + h 2 2 n + 1 h + e - n + 1 h K n

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   6 : E s c r e v a   ( y n + 1 )

P a s s o   7 : F i m

Captou a mensagem!?

Pois bora em frente!

Passo 3

a) Desse modo, utilizando uma linguagem de programação qualquer, C ou P y t h o n ... Você é quem sabe! É possível determinar o que a gente quer. No caso, bora usar a linguagem C ...

Usando o seguinte código abaixo...

O legal é que esse código vai ser servir pra quase todas as questões desse seção! Só é preciso alterar um detalhe aqui e outro acolá!

É importante ressaltar que colocamos um condicional em nosso código, pra aparecer apenas os valores que procurávamos. Fizemos isso, colocando um " i f " para que toda vez que o resto da divisão de i por 2 desse zero, o programa printasse o valor de y em j .

Bom! Compilando ele, num total de iterações ( T A M ) igual à...

T A M = 0 . 4 h = 0 . 4 0.05 = 8

Obtemos os seguintes valores da figura abaixo...

Passo 4

b) Já nessa letra, só basta alterar duas coisas no código confeccional. Primeiro, o valor de h   que vai ser igual a 0 . 025 .

E depois o tamanho T A M de iterações, que vai valer...

T A M = 0 . 4 0 . 025 = 16

Ah! Esqueci de falar! É legal botar um condicional em nosso código pra ele p r i n t a r apenas os valores que pede o enunciado. Podemos fazer isso, colocando um " i f " pra que toda vez que a divisão de i por 4 for 0 , o programa mostrar.

Desse modo, compilando o código... Obtemos o exposto na imagem abaixo:

Passo 5

c) E pra finalizar... Nessa última letra, o tamanho do passo h vai ser 0 . 0125

De modo que precisaremos de um total de iterações igual à...

T A M = 0 . 4 h = 0 . 4 0.0 125 = 32

E compilando o código, já com essas duas alterações... Não esquecendo de por o condicional " i f " , dessa vez para printar quando o resto de i por 8 for zero... Obtemos a seguinte imagem abaixo

Pronto! Exercício finalizado!

Resposta

a)

b)

c)

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