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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 7

Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.

(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025.

(b) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,0125.

7. y ' = 0,5 - t + 2 y ,     y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre método de E u l e r aperfeiçoado.

Olha só! A fórmula aperfeiçoada de E u l e r para a equação diferencial do nosso problema será...

y n + 1 = y n + h 2 0,5 - t n + 2 y n + h 2 0,5 - t n + 1 + 2 K n

Sendo que K n é igual à...

K n = y n + h 0,5 - t n + 2 y n

Na prática, o que estamos fazendo é uma iteração dentro de outra iteração. Voltando ao que interessa, não podemos esquecer que...

t n = t 0 + n h

Com t 0 = 0 ...

Desse modo, nossa expressão geral y n + 1 vai ser...

y n + 1 = y n + h 2 0,5 - t n + 2 y n + h 2 0,5 - t n + 1 + 2 K n

y n + 1 = y n + h 2 0,5 - t n + 2 y n + h 2 0,5 - t n + 1 + 2 y n + h 0,5 - t n + 2 y n

y n + 1 = y n + h 2 4 y n - t n - t n + 1 + 1 + h 2 2 y n - t n + 0,5

y n + 1 = y n + h 2 4 y n - n h - ( n + 1 ) h + 1 + h 2 2 y n - n h + 0,5

y n + 1 = y n + h 2 4 y n - 2 n h - h + 1 + h 2 2 y n - n h + 0,5

y n + 1 = y n + 2 y n h - n h 2 - h 2 2 + h 2 + 2 y n h 2 - n h 3 + h 2 2

y n + 1 = y n + 2 y n h - n h 2 + h 2 + 2 y n h 2 - n h 3

y n + 1 = y n + h 2 y n + 0,5 + h 2 2 y n - n - n h 3

Agora vamos dar um jeito de resolver esse problema computacionalmente.

Passo 2

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo...

P a s s o   1 : D e f i n i r   a   f u n ç ã o   y n + 1  

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   h   e   o   n ú m e r o   d e   p a s s o s   n    

P a s s o   3 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   d e   2 h   f a ç a  

P a s s o   4 :  

y n + 1 = y n + h 2 y n + 0,5 + h 2 2 y n - n - n h 3

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   5 : E s c r e v a   y n + 1

P a s s o   6 : F i m

Passo 3

a) Desse modo, utilizando uma linguagem de programação qualquer, C ou P y t h o n , é possível determinar o que a gente quer. No caso, bora usar a C ...

Usando o seguinte código abaixo...

É importante ressaltar que colocamos um condicional em nosso código, pra aparecer apenas os valores que procurávamos. Fizemos isso, colocando um " i f " para que toda vez que o resto da divisão de i por 20 desse zero, o programa printasse o valor de y em j .

Assim... Compilando o código, num total de iterações igual à...

T A M = 2 h = 2 0.025 = 80

Obtemos os seguintes valores da tabela abaixo...

Passo 4

b) Já nessa letra, só basta alterar duas coisas no código confeccionado. Primeiro, o valor de h   que vai ser igual a 0.0125 .

E depois o tamanho T A M de iterações, que vai valer...

T A M = 2 0.0125 = 160

Desse modo, compilando o código, obtemos que...

E chegamos até a seguinte tabela...

Pronto! Exercício finalizado!

Resposta

a)

b)

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15. Considere o método deEuler aprimorado para resolvero problema de valor inicial ilustrativo y ' = 1–t+4 y , y ( 0 ) = 1 . Usando o resultado do Problema 14(c) e a solução exata do problema de valor
Em cada um dos problemas de23 a 26, use a fórmula de Euler modificada do Problema 22 com h=0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,1 ;0,2 ;0,3 e0,4 .
Em cada um dos problemas de23 a 26,use a fórmula de Euler modificada do Problema 22 com h=0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,1 ;0,2 ;0,3e0,4 . C
Em cada um dos problemas de23 a 26,use a fórmula de Euler modificada do Problema 22 com h=0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,1 ;0,2 ;0,3e0,4 . C
27. Mostre que a fórmula de Euler modificada do Problema 22 será idêntica à fórmula de Euler aprimorada da E q .( 5 ) para y ' =f ( t ,y ) se f for linear em ambos t e y .