Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 1

Em cada um dos problemas de 1 a 4, use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação diferencial dada. Depois verifique sua resposta usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 2 e t

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação.

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 2 e t

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 2 e t

Pode ser reescrita como:

λ 2 - 5 λ + 6 = 0

Onde:

λ 1 = 2

λ 2 = 3

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t

y = c 1 e 2 t + c 2 e 3 t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = e 2 t e y 2 t = e 3 t = formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2

= 3 e 2 t e 3 t - 2 e 2 t e 3 t

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t =   2 e t   .

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ e 3 t . 2 e t e 5 t d t = 2 e - t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ e 2 t . 2 e t e 5 t d t = - e - 2 t

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Y t = e 2 t . 2 e - t + e 3 t - e - 2 t = 2 e T - e t = e t

A solução particular é:

Y t = e t

Resposta

Y t = e t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.13. y ' ' + 3 y ' + 2 y = s e ne x
Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.15. y ' ' - 2 y ' + y = e x 1 + x 2
Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.18. y ' ' + 10 y ' + 25 y = e - 10 x x 2
Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.17. y ' ' + 2 y ' + y = e - x ln ⁡ x
Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.14 y ' ' - 2 y ' + y = e x a r c tan ⁡ x .