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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 26

Em cada um dos problemas de 21 a 28:

Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.

Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.

y ' ' + 4 y = t 2 sen ⁡ 2 t + 6 t + 7 cos ⁡ 2 t  

Passo 1

(a) Determine a equação característica substituindo y ' ' por r 2 , y ' por r   e y na equação diferencial:

r 2 + 4   =   0

Determinando as raízes, podemos aplicar em Bhaskara:

r = ± 2 i

Onde a parte real a = 0 e imaginária b = 2 .

A solução homogênea é então a soma de dois termos exponenciais com essas raízes no poder:

y t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sen ⁡ 2 t

Passo 2

A solução específica contém os termos de t 2 sen ⁡ 2 t + 6 t + 7 cos ⁡ 2 t   .

Vamos usar como base a tabela 3.5.1 do capítulo 3 (seção 5), e analisaremos os casos equivalentes mostrados na tabela.

E por fim, temos o caso 3: P n t e α t ( sem ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n sem ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t :

Nós temos sen ⁡ 2 t   e cos ⁡ 2 t , onde β = 2 , n = 2 e α = 0 :

Y = A o t 2 + A 1 t + A 2 sen ⁡ 2 t + B o t 2 + B 1 t + B 2 cos ⁡ 2 t

Os termos sen ⁡ 2 t   e cos ⁡ 2 t estão presentes na solução homogênea, nos permitindo multiplicar esses dois termos por t :

Y = t A o t 2 + A 1 t + A 2 sen ⁡ 2 t + t B o t 2 + B 1 t + B 2 cos ⁡ 2 t

Passo 3

Podemos encontrar as raízes computacionalmente ultilizando um software simples online (como é o caso do Wolfram Alpha e Symbolab). As raízes encontradas são :

A 0 = 0 ;   A 1 = 13 16 ; A 2 = 7 4 ;  

B 0 = - 1 12 ; B 1 = 0 ; B 2 = 13 32

Resposta

(a) Y = t A o t 2 + A 1 t + A 2 sen ⁡ 2 t + t B o t 2 + B 1 t + B 2 cos ⁡ 2 t

(b) A 0 = 0 ;   A 1 = 13 16 ; A 2 = 7 4 ;  

B 0 = - 1 12 ; B 1 = 0 ; B 2 = 13 32

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