Calcular a área sob a curva y = 1 / (2 + cos(x)) e y = 1 / (2 - cos(x)) de x = -pi/2 a x = pi/2 .

Passo 1

A área pedida é a da figura abaixo:

Como a gente pode ver, a função que está por cima é a y = 1 2 - cos ⁡ x . Então a gente encontra a área fazendo:

A = ∫ - π 2 π 2 1 2 - cos ⁡ x - 1 2 + cos ⁡ x   d x

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

c o s   x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Passo 2

Vamos separar em duas integrais pra ficar mais fácil:

A = ∫ - π 2 π 2 1 2 - cos ⁡ x d x - ∫ - π 2 π 2 1 2 + cos ⁡ x   d x

A gente pode resolver com integral indefinida e trocar depois pra usar os intervalos de integração.

Vamos resolver então assim:

∫ 1 2 - cos ⁡ x d x - ∫ 1 2 + cos ⁡ x d x

Agora a gente substitui...

∫ 1 2 - 1 - t 2 1 + t 2 ∙   2 d t 1 + t 2 - ∫ 1 2 + 1 - t 2 1 + t 2 ∙ 2 d t 1 + t 2

∫ 2 d t 1 + t 2 2 + 2 t 2 - 1 + t 2 1 + t 2 - ∫ 2 d t 1 + t 2 2 + 2 t 2 + 1 - t 2 1 + t 2

Passo 3

Vamos simplificar agora:

∫ 2 d t 3 t 2 + 1 - ∫ 2 d t t 2 + 3

Aí a gente pode fazer:

2 3 ∫ d t t 2 + 1 3 - 2 ∫ d t t 2 + 3

Aí agora a gente integra:

= 2 3 a r c t g   3 - 2 3 a r c t g t 3 + C

Vamos voltar pra nossa variável inicial agora:

= 2 3 a r c t g   3 t g x 2 - 2 3 a r c t g   1 3 t g   x 2 + C  

Passo 4

Beleza, agora pra achar a área agora a gente aplica os intervalos de integração:

A = 2 3 a r c t g   3 t g x 2 - 2 3 a r c t g   1 3 t g   x 2 - π 2 π 2  

A = 2 3 a r c t g   3 - 2 3 a r c t g 1 3 - 2 3 a r c t g   - 3 + 2 3 a r c t g - 1 3

A = 2 3 ∙ π 3 - 2 3 ∙ π 6 + 2 3 ∙ π 3 - 2 3 ∙ π 6

A = 2 π 3 3 = 2 3 9   u . a

Prontinho! Essa é a área pedida😉

Resposta

A = 2 3 9   u . a

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