Calcule, se existir:

a ) ∫ - ∞ + ∞ sen ⁡ x d x

b ) lim r → + ∞ ⁡ ∫ - r + r sen ⁡ x d x

Passo 1

Letra a )

Vamos começar calculando:

∫ - ∞ + ∞ sen ⁡ x d x

Para isso, devemos fazer

∫ - ∞ + ∞ sen ⁡ x d x = ∫ - ∞ 0 sen ⁡ x d x + ∫ 0 + ∞ sen ⁡ x d x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ - ∞ 0 sen ⁡ x d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 sen ⁡ x d x

∫ 0 + ∞ sen ⁡ x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b sen ⁡ x d x

∫ - ∞ + ∞ sen ⁡ x d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 sen ⁡ x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b sen ⁡ x d x

E calcular essas duas integrais separadamente.

Passo 2

Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida

∫ sen ⁡ x d x

Então vamos começar por ela.

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Passo 3

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 sen ⁡ x d x = lim a → - ∞ ⁡ - cos ⁡ x a 0 =

lim a → - ∞ ⁡ - cos ⁡ 0 - - cos ⁡ a = lim a → - ∞ ⁡ - 1 + cos ⁡ a

Mas o limite do cosseno não existe no - ∞ , a função fica oscilando entre - 1 e 1 . Dessa forma, essa integral imprópria é divergente.

Passo 4

Vamos para a letra b

lim r → + ∞ ⁡ ∫ - r + r sen ⁡ x d x

Começando com

∫ - r + r sen ⁡ x d x

Vamos ter:

∫ - r + r sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x - r r = - cos ⁡ r - - cos ⁡ - r = - cos ⁡ r + cos ⁡ - r

Devemos lembrar que

cos ⁡ - r = cos ⁡ r

Então

∫ - r + r sen ⁡ x d x = 0

Um outro jeito de pensar nisso, é que estamos integrando em um intervalo simétrico e a função seno é um função ímpar!

Passo 5

Voltando para o limite:

lim r → + ∞ ⁡ ∫ - r + r sen ⁡ x d x = lim r → + ∞ ⁡ 0 = 0

Ou seja, fazendo a integral desse jeito converge!

Qual a diferença entre os dois cálculos? No primeiro estamos integrando de - ∞ para + ∞ direto. Nesse caso o intervalo não necessariamente será simétrico por que não é um número! Não podemos garantir queo limite inferior é igual ao limite superior com o sinal trocado. Já o segundo método garante isso por que já foi construído para ser uma integral simétrica de - r até r !

Resposta

Letra a ) Não converge

Letra b ) Converge

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