Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 19
Calcule, se existir:
)
)
Passo 1
Letra
Vamos começar calculando:
Para isso, devemos fazer
Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:
E calcular essas duas integrais separadamente.
Passo 2
Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida
Então vamos começar por ela.
Passo 3
Vamos olhar cada limite separadamente agora:
Mas o limite do cosseno não existe no , a função fica oscilando entre e . Dessa forma, essa integral imprópria é divergente.
Passo 4
Vamos para a letra
Começando com
Vamos ter:
Devemos lembrar que
Então
Um outro jeito de pensar nisso, é que estamos integrando em um intervalo simétrico e a função seno é um função ímpar!
Passo 5
Voltando para o limite:
Ou seja, fazendo a integral desse jeito converge!
Qual a diferença entre os dois cálculos? No primeiro estamos integrando de para direto. Nesse caso o intervalo não necessariamente será simétrico por que não é um número! Não podemos garantir queo limite inferior é igual ao limite superior com o sinal trocado. Já o segundo método garante isso por que já foi construído para ser uma integral simétrica de até !
Resposta
Letra Não converge
Letra Converge