Calcule, se existir:

a ) int_(- oo)^(+ oo) sen x d x

b ) underset(r -> + oo)(lim) int_(- r)^(+ r) sen x d x

Passo 1

Letra a )

Vamos começar calculando:

int_(- oo)^(+ oo) sen x d x

Para isso, devemos fazer

int_(- oo)^(+ oo) sen x d x = int_(- oo)^0 sen x d x + int_0^(+ oo) sen x d x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

int_(- oo)^0 sen x d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 sen x d x

int_0^(+ oo) sen x d x = underset(b -> + oo)(lim) int_0^b sen x d x

int_(- oo)^(+ oo) sen x d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 sen x d x + underset(b -> + oo)(lim) int_0^b sen x d x

E calcular essas duas integrais separadamente.

Passo 2

Para ambas as integrais impróprias, devemos achar a integral indefinida

int sen x d x

Então vamos começar por ela.

int sen x d x = - cos x + C

Passo 3

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 sen x d x = underset(a -> - oo)(lim) (- cos x)_a^0 =

underset(a -> - oo)(lim) ((- cos 0) - (- cos a)) = underset(a -> - oo)(lim) (- 1 + cos a)

Mas o limite do cosseno não existe no - oo , a função fica oscilando entre - 1 e 1 . Dessa forma, essa integral imprópria é divergente.

Passo 4

Vamos para a letra b

underset(r -> + oo)(lim) int_(- r)^(+ r) sen x d x

Começando com

int_(- r)^(+ r) sen x d x

Vamos ter:

int_(- r)^(+ r) sen x d x = (- cos x)_(- r)^r = (- cos r) - (- cos (- r)) = - cos r + cos (- r)

Devemos lembrar que

cos (- r) = cos r

Então

int_(- r)^(+ r) sen x d x = 0

Um outro jeito de pensar nisso, é que estamos integrando em um intervalo simétrico e a função seno é um função ímpar!

Passo 5

Voltando para o limite:

underset(r -> + oo)(lim) int_(- r)^(+ r) sen x d x = underset(r -> + oo)(lim) 0 = 0

Ou seja, fazendo a integral desse jeito converge!

Qual a diferença entre os dois cálculos? No primeiro estamos integrando de - oo para + oo direto. Nesse caso o intervalo não necessariamente será simétrico por que oo não é um número! Não podemos garantir queo limite inferior é igual ao limite superior com o sinal trocado. Já o segundo método garante isso por que já foi construído para ser uma integral simétrica de - r até r !

Resposta

Letra a ) Não converge

Letra b ) Converge

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados