Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 50
Se os quatro primeiros termos do polinômio de Maclaurin forem usados para aproximar o valor de , qual será a precisão do resultado?
Passo 1
Ele quer o valor de , se olharmos essa raiz como uma potência, vamos ter:
Então temos que fazer o polinômio de Maclaurin de
O polinômio de Maclaurin é o polinômio de Taylor centrado no
Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:
Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso , e fazer as derivadas para achar o seu padrão. Vamos ter:
Uma coisa importante, ele quer usar os primeiros termos, isso vai fazer com que a ordem do polinômio seja . Isso porque a quantidade de termos é a mais que a ordem.
Passo 2
Temos
Fazendo as derivadas:
Então vamos ter:
Passo 3
O polinômio de Maclaurin de vai ser:
Abrindo o polinômio:
Passo 4
Para aproximarmos o valor da raiz usando o polinômio, vamos fazer
Porque assim teremos:
Passo 5
Vamos calcular o Erro de Lagrange agora, que ele pediu.
Vamos ter:
Com o entre e .
Temos:
Logo:
Com o entre e .
Vamos usar isso no valor de para a raiz de
Passo 6
Vamos ter:
Logo o erro vai ser:
Com o entre e .
Como:
Vamos ter:
Dividindo por
Temos
Assim, vamos ter
Então o erro é menor que
Logo, é exato até a segunda casa decimal.
Resposta
é exato até a segunda casa decimal.