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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 16

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- oo)^(+ oo) (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- oo)^(+ oo) (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- oo)^(+ oo) (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t + underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:

u = e^(- t) , t a l q u e d u = - e^(- t) d t

Teremos:

Quando t = 0 -> u = 1

Quando t = a -> u = e^(- a)

Logo:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = underset(a -> - oo)(lim) int_(e^(- a))^1 (1)/(1 + u^2) (- d u)

E resolvendo a integral através da fórmula 22 que se encontra na página 490 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed – ANTON:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = - underset(a -> - oo)(lim) [a r c t g (u)] | [[1],[e^(- a)]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = - underset(a -> - oo)(lim) [a r c t g (1) - a r c t g (e^(- a))]

Logo:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = - (pi)/(4) + (pi)/(2) = (pi)/(4)

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = underset(b -> + oo)(lim) int_1^(e^(- b)) (1)/(1 + u^2) (- d u)

E resolvendo a integral:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = - underset(b -> + oo)(lim) [a r c t g (u)] | [[e^(- b)],[1]]

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = - underset(b -> + oo)(lim) [a r c t g (e^(- b)) - a r c t g (1)]

Logo:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = 0 + (pi)/(4) = (pi)/(4)

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

int_(- oo)^(+ oo) (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = (pi)/(4) + (pi)/(4)

Logo:

int_(- oo)^(+ oo) (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = (pi)/(2)

Resposta

int_(- oo)^(+ oo) (e^(- t))/(1 + e^(- 2 t)) d t = (pi)/(2)

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