Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 16
Calcule as integrais que convirjam.
Passo 1
Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.
Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.
Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.
Passo 2
Então, para a nossa respectiva integral
O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:
Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.
Passo 3
Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.
Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:
Teremos:
Quando
Quando
Logo:
E resolvendo a integral através da fórmula que se encontra na página do livro Cálculo Vol. 1 - Ed – ANTON:
Passo 4
Substituindo o intervalo de integração:
Logo:
Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.
Passo 5
Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:
E resolvendo a integral:
Passo 6
Novamente, substituindo o intervalo de integração:
Logo:
Passo 7
Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:
Logo: