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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 37

Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante.

∫ 0 + ∞ e - x x d x ; u = x

[Nota: u → + ∞ quando x → + ∞ ]

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral.

Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Além disso, iremos resolver o problema através do método da substituição u dada para cada caso.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 + ∞ e - x x d x

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 + ∞ e - x x d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 e - x x d x + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b e - x x d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convergente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Com isso, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através da substituição, teremos:

u = x → d u = 1 2 x d x

E:

Quando x = 1 → u = 1

Quando x = a → u = a

Ou seja:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 e - x x d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 e - u 2 d u = 2 lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 e - u d u

Tal que:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 e - x x d x = 2 lim a → 0 + ⁡ - e - u | 1 a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 e - x x d x = - 2 lim a → 0 + ⁡ e - 1 - e - a

Logo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 e - x x d x = - 2 1 e - 1 = 2 - 2 e

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

Quando x = b → u = b

Quando x = 1 → u = 1

Então:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b e - x x d x = 2 lim b → + ∞ ⁡ - e - u | b 1

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b e - x x d x = - 2 lim b → + ∞ ⁡ e - b - e - 1

Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b e - x x d x = - 2 0 - 1 e = 2 e

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

∫ 0 + ∞ e - x x d x = 2 - 2 e + 2 e

Logo:

∫ 0 + ∞ e - x x d x = 2

Resposta

∫ 0 + ∞ e - x x d x = 2

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