Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 22

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- 3)^1 (x d x)/(sqrt(9 - x^2))

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- 3)^1 (x d x)/(sqrt(9 - x^2))

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- 3)^1 (x d x)/(sqrt(9 - x^2)) = underset(a -> - 3^+)(lim) int_a^1 (x d x)/(sqrt(9 - x^2))

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através do método da substituição simples com:

u = 9 - x^2 , t a l q u e d u = - 2 x d x

Teremos:

Quando x = 1 -> u = 8

Quando x = a -> u = 9 - a^2

Logo:

underset(a -> - 3^+)(lim) int_a^1 (x d x)/(sqrt(9 - x^2)) = underset(a -> - 3^+)(lim) int_(9 - a^2)^8 (1)/(sqrt(u)) (- (d u)/(2))

E resolvendo a integral:

underset(a -> - 3^+)(lim) int_(9 - a^2)^8 (1)/(sqrt(u)) (- (d u)/(2)) = - (1)/(2) underset(a -> 3^+)(lim) [2 sqrt(u)] | [[8],[9,-,a^2]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> - 3^+)(lim) int_a^1 (x d x)/(sqrt(9 - x^2)) = - underset(a -> 3^+)(lim) [sqrt(8) - sqrt(9 - a^2)]

Logo:

underset(a -> - 3^+)(lim) int_a^1 (x d x)/(sqrt(9 - x^2)) = - sqrt(8) + 0 = - sqrt(8)

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

int_(- 3)^1 (x d x)/(sqrt(9 - x^2)) = - sqrt(8)

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