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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 21

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(sqrt(x) (1 + sqrt(x))^2) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de x^2 com 1 + sqrt(x) , então vamos fazer

u = 1 + sqrt(x)

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 1 + sqrt(x) -> d u = (1 + sqrt(x))^' d x = ((1)/(2 sqrt(x))) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int (1)/(sqrt(x) (1 + sqrt(x))^2) d x

O termo entre parênteses é o próprio u !

int (1)/(sqrt(x) (u)^2) d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = ((1)/(2 sqrt(x))) d x -> 2 d u = (2) ((1)/(2 sqrt(x))) d x -> 2 d u = ((1)/(sqrt(x))) d x

Agora podemos substituir na integral :D

int (1)/(sqrt(x) (u)^2) d x = int (1)/((u)^2) ( 2 d u ) = 2 int (d u)/(u^2) = 2 int u^(- 2) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

2 int u^(- 2) d u = (2) (- u^(- 1)) + C = - (2)/(u) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int (1)/(sqrt(x) (1 + sqrt(x))^2) d x = - (2)/(( 1 + sqrt(x) )) + C

Resposta

- (2)/(( 1 + sqrt(x) )) + C

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