Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 1 x 1 + x 2 d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de x 2 com   1 + x , então vamos fazer

u = 1 + x

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 1 + x → d u = 1 + x ' d x = 1 2 x d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 x 1 + x 2 d x

O termo entre parênteses é o próprio u !

∫ 1 x u 2 d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 1 2 x d x → 2 d u = 2 1 2 x d x → 2 d u = 1 x d x

Agora podemos substituir na integral :D

∫ 1 x u 2 d x = ∫ 1 u 2 ( 2 d u ) = 2 ∫ d u u 2 = 2 ∫ u - 2 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

2 ∫ u - 2 d u = 2 - u - 1 + C = - 2 u + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 1 x 1 + x 2 d x = - 2 ( 1 + x ) + C

Resposta

- 2 ( 1 + x ) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados