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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 23

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int sec^2 ( 3 x + 2 ) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de sec^2 x com 3 x + 2 , então vamos fazer

u = 3 x + 2

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 3 x + 2 -> d u = (3 x + 2)^' d x = (3) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int sec^2 ( 3 x + 2 ) d x

O termo entre parênteses é o próprio u !

int sec^2 ( u ) d z

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (3) d x -> (d u)/(3) = ((1)/(3)) (3) d x -> (d u)/(3) = d x

Agora podemos substituir na integral :D

int sec^2 ( u ) d z = int sec^2 (u) ((d u)/(3)) = (1)/(3) int sec^2 ( u ) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

(1)/(3) int sec^2 ( u ) d u = ((1)/(3)) (tg u) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int sec^2 ( 3 x + 2 ) d x = ((1)/(3)) (tg ( 3 x + 2 )) + C

Resposta

((1)/(3)) (tg ( 3 x + 2 )) + C

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