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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 27

Calcule a integral

int_0^1 2^(- theta) d theta

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_0^1 2^(- theta) d theta

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int 2^(- theta) d theta

Façamos primeiramente uma mudança de variável. Se chamarmos u = - theta , teremos d u = - theta d theta . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int 2^(- theta) d theta = - int 2^u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Esta integral que obtemos é equivalente a seguinte integral, à qual já foi resolvida no livro.

int a^u d u = (a^u)/(ln a) + k

E, para o nosso caso, temos que a = 2 . Portanto, a solução da nossa integral é:

- int 2^u d u = - (2^u)/(ln 2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- (2^u)/(ln 2) + k = - (2^(- theta))/(ln 2) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_0^1 2^(- theta) d theta = ([- (2^(- theta))/(ln 2)]|_0^1 = - (1)/(ln 2) * ([2^(- theta)]|_0^1

int_0^1 2^(- theta) d theta = - (1)/(ln 2) * ( 2^(- 1) - 2^0 )

int_0^1 2^(- theta) d theta = - (1)/(ln 2) * ((1)/(2) - 1) = (1)/(2 ln 2)

Resposta

int_0^1 2^(- theta) d theta = (1)/(2 ln 2)

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