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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 81

Calcule a integral :

int (x)/(sqrt(2 - x)) d x

Passo 1

Fala ai!!

Galera, o primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para resolver a integração.

Show! Sabendo disso, o que devemos fazer para resolver a integral acima? Nesse caso, vamos utilizar integração por substituição:

Vamos fazer u = 2 - x → x = u - 2 então d x = - d u

Substituindo temos:

int (x)/(sqrt(2 - x)) d x = - int (2 - u)/(sqrt(u)) d u

= - int (2 - u)/(u^(1 // 2))

= - int (2 u^(- (1)/(2)) - u . u^(- (1)/(2))) d u

= - int (2 u^(- (1)/(2)) - u^((1)/(2))) d u

= - 2 int u^(- (1)/(2)) d u + int u^((1)/(2)) d u

= - 4 u^((1)/(2)) + (2)/(3) u^((3)/(2)) + C

Voltando para a variável x

= - 4 (2 - x)^((1)/(2)) + (2)/(3) (2 - x)^((3)/(2)) + C

Colocamos 2 em evidencia, temos:

= 2 [((sqrt(2 - x))^3)/(3) - 2 sqrt(2 - x)] + C

Resposta

2 [((sqrt(2 - x))^3)/(3) - 2 sqrt(2 - x)] + C

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