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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 14

Calcule a integral sem usar tabelas

int_(- oo)^(oo) (x d x)/(( x^2 + 4 )^((3)/(2)))

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

(i) : int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f (x) d x

(i i) : int_(- oo)^a f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_b^a f ( x ) d x

(i i i) : int_(- oo)^(oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^c f ( x ) d x + int_c^(oo) f ( x ) d x , c é u m n ú m e r o q u a l q u e r

No entanto, vamos resolver primeiro a integral de forma indefinida e, depois, nesse resultado aplicaremos o limite

Passo 2

Vamos, então, resolver nossa integral

int (x d x)/(( x^2 + 4 )^((3)/(2)))

Fazendo u = x^2 + 4 -> (d u)/(d x) = 2 x -> (d u)/(2) = x d x

((1)/(2)) * int (d u)/(u^((3)/(2))) = ((1)/(2)) * (u^(- (3)/(2) + 1))/((- (3)/(2) + 1)) = ((1)/(2)) * (- 2) * u^(- (1)/(2)) + C

- (1)/(sqrt(u)) + C

Retornando à variável x teremos

- (1)/(sqrt(x^2 + 4)) + C

Passo 3

Aplicando, agora, a forma ( i i i ) descrita no primeiro passo vamos obter

int_(- oo)^(oo) (x d x)/(( x^2 + 4 )^((3)/(2))) = int_(- oo)^0 (x d x)/(( x^2 + 4 )^((3)/(2))) + int_0^(oo) (x d x)/(( x^2 + 4 )^((3)/(2))) =

int_(- oo)^0 (x d x)/(( x^2 + 4 )^((3)/(2))) + int_0^(oo) (x d x)/(( x^2 + 4 )^((3)/(2))) = underset(b -> - oo)(lim) [- (1)/(sqrt(x^2 + 4))] (0)/(b) + underset(c -> oo)(lim) [- (1)/(sqrt(x^2 + 4))] (c)/(0) =

underset(b -> - oo)(lim) [- (1)/(2) + (1)/(sqrt(b^2 + 4))] + underset(c -> oo)(lim) [- (1)/(sqrt(c^2 + 4)) + (1)/(2)] = - (1)/(2) + (1)/(2) = 0

Resposta

0

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