Investigar as integrais impróprias.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Quando o valor no qual isso ocorre é um número inteiro, deve-se verificar os limites laterais a esse ponto para verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

I = ∫ 0 ∞ e - x x d x = l i m a → 0 ∫ a 1 e - x x d x + l i m b → ∞ ∫ 1 b e - x x d x

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = - x , tal que d u = - d x 2 x e a integral se dará por:

∫ e u - 2 d u = - 2 e u

Retornando à variável original:

I = l i m a → 0 - 2 e - x | 1 a + l i m b → ∞ - 2 e - x | b 1

Substituindo os limites de integração:

I = - 2 l i m a → 0 e - 1 - e - a 1 a + l i m b → ∞ e - b - e - 1 b 1 = - 2 - 1 + 0

I = 2

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, como o limite existe, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 ∞ e - x x d x = 2

A integral é convergente.

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