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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 16

Utilize o método de Euler para calcular as três primeiras aproximações do problema de valor inicial dado para o tamanho do incremento especificado. Calcule a solução exata e estude a precisão de suas aproximações. Arredonde até a quarta casa decimal.

y ' = y   e x

y 0 = 2 ; d x = 0 , 5

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular as três primeiras aproximações para o problema de Valor inicial dado:

Temos as seguintes informações:

y ' = y e x

y 0 = 2 ; d x = 0,5

Então, vamos lá:

y 1 = y 0 + ( y 0 e x 0 ) d x

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   2 + 2 .   e 0 ( 0,5 ) = 3  

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 = y 1 + ( y 1 e x 1 ) d x

y 2 =   3 + 3   e 0,5 0,5 = 5,47308  

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = y 2 + ( y 2 e x 2 ) d x

y 3 = 5,47308 +   5,47308   e 1,0 0,5 = 12,9118

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = y e x

Que pode ser reescrita da seguinte forma:

d y d x = y e x

d y y = e x d x

Podemos utilizar o método das equações separáveis, vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ d y y =   ∫ e x d x

ln ⁡ y = e x + C

Passo 3

Para y 0 = 2   temos:

ln ⁡ 2 = 1 + C

c = ln ⁡ 2 - 1

Logo,

ln ⁡ y = e x + ln ⁡ 2 - 1

Aplicando a propriedade dos logaritmos em ambos os lados da equação, temos:

e ln ⁡ y   =   e e x + ln ⁡ 2 - 1

y = 2 e x - 1

Passo 4

Agora, vamos verificar a precisão da aproximação:

y 1,5 ≅ 2 e 1,5 - 1 ≅ 65,029

Resposta

y 1,5 ≅ 65,029

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7. a) Considerando o seguinte PVI y ' = 0.04 y y 0 = 1000 E supondo conhecidos y 1 e y 2 , verifique que o método (2) do texto nos fornece y n + 1 explicitamente para y n + 1 .b) Como você explica o r
20. Escreva a equação de 2ª ordem: y ' ' ( x ) = 2 e 2 x - y 2 1 2 y 0 = 0 y ' 0 = 1 Como um sistema de equações de 1ª ordem e resolva-o, para xϵ[ 0 ,0.6 ] , usando h = 0.2 :a) pelo método de Eulerb)
26. Mostre que a aproximação b e 0 ( h )
1. O método de Euler modificado é deduzido a partir da figura abaixo: y ( x ) : solução exata da equação diferencial L 1 : z 1 ( x ) ; reta que passa por ( y n , x n ) e é tangente a y ( x ) em ( x n
18. Determine y ( 1 ) para y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0 , y 0 = - 1 , y ' 0 = 0 utilizando o método de Euler com h = 0.1