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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 55

Nos Exercícios 51-56, calcule as integrais fazendo uma substituição (possivelmente trigonométrica) e, em seguida, aplique uma fórmula de redução.

55-

∫ 1 2 r 2 - 1 3 2 r   d r

Passo 1

Da tabela de integrações trigonométricas inversas temos:

a 2 - x 2 → u s e   x = a   s e n   u

a 2 + x 2 → u s e   x = a   t g   u

x 2 - a 2 → u s e   x = a sec ⁡ u

Como nossa variável é r e temos uma relação r 2 - 1 , logo vamos substituir r = 1 × sec ⁡ u

Logo nosso d r será:

d r = d d u ( sec ⁡ u ) = sec ⁡ u × t g   u   d u

Substituindo tudo na nossa integral que por enquanto será indefinida nós teremos:

∫ sec 2 ⁡ u - 1 3 2 sec ⁡ u

Passo 2

Porém o numerador pode ser substituído por:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ u teremos:

t g 2 u + 1 = sec 2 ⁡ u

t g 2 u = sec 2 ⁡ u - 1

Logo nossa integral fica:

∫ t g 2 u 3 2 sec ⁡ u ( sec ⁡ u × t g   u ) d u   = ∫ t g 4 u   d u

Passo 3

Só que não é muito conveniente volta para o domínio r nessa situação então vamos calcular os novos parâmetros para a nossa integral definida.

r = sec ⁡ u

Para r = 1 nosso u será:

1 = sec ⁡ u → u = sec - 1 ⁡ 1 = 0

Para r = 2 nosso u será:

2 = sec ⁡ u → u = sec - 1 ⁡ 2 = π 3

Logo nossa integral definida fica:

∫ 0 π 3 t g 4   u   d u

Passo 4

Porém utilizando a fórmula 93 na página 632 nós temos a seguinte fórmula:

Então nós teremos n = 4 e a = 1 :

∫ t g 4 u   d x = t g 3 ( u ) 3 - ∫ t g 2 u   d u

Utilizando de novo a tabela para resolver a integral que sobrou nós teremos para a = 1 e n = 2 :

∫ t g 4 u   d x = t g 3 u 3 - t g   u 1 - ∫   d u

∫ t g 4 u   d x = t g 3 u 3 - t g   u + u

Aplicando o intervalo nesse nosso resultado de integral temos:

t g 3 u 3 - t g   u + u 0 π 3

t g 3 π 3 3 - t g π 3 + π 3 - t g 3 0 3 - t g   0 + 0

3 3 3 - 3 + π 3 - 0

3 3 3 - 3 + π 3 = π 3

Resposta

π 3

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