Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 17

Cilindro circular cortado por planos - Integre g x , y , z = x 4 y y 2 + z 2 sobre a porção do cilindro y 2 + z 2 = 25 que está no primeiro octante entre os planos x = 0 e x = 1 e acima do plano z = 3 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O objetivo desta tarefa é integrar g x , y , z = x 4 y ( y 2 + z 2 ) sobre a porção do cilindro y 2 + z 2 = 25 que se encontra no primeiro octante entre os planos x = 0 e x = 1 e acima do plano z = 3 .

Se uma superfície S é dada explicitamente como o gráfico de z = f ( x , y ) , onde f é uma função continuamente diferenciável sobre uma região R no plano x y , a integral de superfície da função contínua G sobre S é dada por a integral dupla sobre S ,

Á r e a = ∬ g x , y , z f x 2 + f y 2 + 1   d y   d x

Primeiro, resolva a equação da superfície para a variável x :

y 2 + z 2 = 25 → z = 25 - y 2

Determinando as derivadas parciais f x e f y e calculando f x 2 + f y 2 + 1

f x = 0 ,     f y = - y 25 - y 2

O que segue

  f x 2 + f y 2 + 1 = y 2 25 - y 2 + 1 = 25 25 - y 2

Que tem como resultado

  f x 2 + f y 2 + 1 = 5 25 - y 2

Também, reescrevendo g ( x , y , z ) em termos de x e y .

g x , y , z = g x , y , f x , y = g x , y , 25 - y 2 = 25 x 4 y

Passo 2

O cilindro parabólico dado é y 2 + z 2 = 25 e os planos dados são x = 0 , x = 1 e z = 3 . Vamos encontrar os limites: para y eles são y 2 + z 2 = 25 → y 2 = 25 - 3 2 → y = 4 (y é positivo e maior que zero porque o cilindro está no primeiro octante).

Da representação paramétrica do cilindro sabemos que x = u e y = v , então os limites são 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 4 .

Agora configure e resolva a integral dupla que representa a área da superfície da região tridimensional declarada que se projeta na região limitada no plano x y . Nota: certifique-se de converter para coordenadas polares.

Á r e a = ∬ g x , y , z f x 2 + f y 2 + 1   d y   d x

Com isso,

Á r e a =   ∫ 0 4 ∫ 0 1 25 x 4 y 5 25 - y 2 d x   d y

Que tem como resultado

Á r e a = 25 ∫ 0 4 y 25 - y 2 - 1 2   d y

Portanto

Á r e a = 50

Resposta

50

Exercícios de Livros Relacionados

Como se integra uma função sobre uma superfície parametrizada no espaço? E de superfícies que são definidas implicitamente ou na forma explícita? O que se pode calcular com asintegrais de superfície?
Área de uma região elíptica - Encontre a área da região elíptica cortada do plano x + y + z = 1 pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Área de uma calota parabólica - Encontre a área da calota cortada do paraboloide y 2 + z 2 = 3 z pelo plano x = 1 .