Como se integra uma função sobre uma superfície parametrizada no espaço? E de superfícies que são definidas implicitamente ou na forma explícita? O que se pode calcular com as

integrais de superfície? Dê exemplos

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Algumas questões são norteadoras em nossos estudos. Você sabe, por exemplo, como podemos integrar uma função em relação à superficie parametrizada no espaço? E de superfícies definidas implicitamente ou na sua forma explícita? Sabe como podemos calcular com integrais de superficies? Vamos à resolução com alguns exemplos, acompanhe!

Passo 2

Veja que, para uma integral de superfície, temos as definições na seção 16.6:Para uma superficie suave S definida parametricamente como r ( u , v ) = f ( u , v ) i + g ( u , v ) j + h ( u , v ) k ∈ R e uma função contínua G ( x , y , z ) difinida em S , a integral de superfície de G sobre S é dada pela integral dupla sobre R :

∬ S   G ( x , y , z ) d σ = ∬ R   G ( f ( u , v ) , g ( u , v ) , h ( u , v ) ) r u × r v d u d v .

Passo 3

Já para uma superficie S dada implicitamente por F ( x , y , z ) = c , temos a seguinte integral:

∬ S   G ( x , y , z ) d σ = ∬ R   G ( x , y , z ) | ∇ F | | ∇ F ⋅ p | d A , 

Passo 4

Para uma superficie S , dada explicitamente como o gráfico z = f ( x , y ) , temos que a integral dessa superfície será:

∬ S   G ( x , y , z ) d σ = ∬ R   G ( x , y , f ( x , y ) ) f x 2 + f y 2 + 1 d x d y .

Os exemplos 1,2 e 3 da seção 16.6 são excelentes para a aplicação dessas funções.

Resposta

Resposta nos passos.

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