Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 12

Área de uma calota parabólica - Encontre a área da calota cortada do paraboloide y 2 + z 2 = 3 z pelo plano x = 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O objetivo desta tarefa é determinar a área da superfície da região elíptica que é cortada do paraboloide y 2 + z 2 = 3 x pelo plano x = 1 . Se uma superfície S é dada explicitamente como o gráfico de z = f ( x , y ) , onde f é uma função continuamente diferenciável sobre uma região R no plano x y , a integral de superfície da função contínua G sobre S é dada por a integral dupla sobre S ,

Á r e a = ∬ f x 2 + f y 2 + 1   d y   d x

Primeiro, vamos resolver a equação da superfície para a variável x:

x = 1 3 y 2 + 1 3 z 2

Calculando as derivadas parciais para x e y , obtemos que

f y = 2 3 y ,     f z = 2 3 z

E com isso,

2 3 y 2 + 2 3 z 2 + 1 = 4 9 y 2 + 4 9 z 2 + 1

Passo 2

Agora configurando e resolvendo a integral dupla que representa a área da superfície da região tridimensional declarada que se projeta na região limitada no plano x y . Nota: certifique-se de converter para coordenadas polares.

Á r e a = ∬ 4 9 y 2 + 4 9 z 2 + 1   d z   d y

Convertendo para coordenadas polares

Á r e a =   ∫ 0 2 π ∫ 0 3 4 9 r 2 cos 2 ⁡ θ + 4 9 r 2 s e n 2 θ + 1 ∙ r ∙ d r d θ

Com isso, nós obtemos que

Á r e a = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 4 9 r 2 + 1 1 2 ∙ r ∙ d r ∙ d θ

Que tem como resultado

Á r e a = 9 8 ∙ 2 3 ∫ 0 2 π 4 9 r 2 + 1 3 / 2 0 3 d θ

E portanto, fazendo algumas manipulações

Á r e a = 3 4 7 21 9 - 1 ∫ 0 2 π d θ

Logo,

Á r e a = π 6 7 21 - 9

Resposta

Á r e a = π 6 7 21 - 9

Exercícios de Livros Relacionados

Como se integra uma função sobre uma superfície parametrizada no espaço? E de superfícies que são definidas implicitamente ou na forma explícita? O que se pode calcular com asintegrais de superfície?
Área de uma região elíptica - Encontre a área da região elíptica cortada do plano x + y + z = 1 pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Cilindro circular cortado por planos - Integre g x , y , z = x 4 y y 2 + z 2 sobre a porção do cilindro y 2 + z 2 = 25 que está no primeiro octante entre os planos x = 0 e x = 1 e acima do plano z = 3