Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 69
Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também sua diretriz.
Passo 1
Olá galerinha, espero que estejam bem e ansiosos para resolver este exercício comigo! Vamos lá.
As seções cônicas resultam da intersecção de um cone plano, como mostrado na Figura:
Equações de forma padrão para elipses centradas na origem:
- Distância entre o centro e foco:
- Focos:
- Vértices:
- Se concavidade para baixo;
- Se concavidade para cima.
- Distância entre o centro e foco:
- Focos:
- Vértices:
- Assíntotas: ou
- Elipse:
- Parábola:
- Hipérbole:
Uma equação da parábola com foco e diretriz é:
Se considerarmos que , então a equação torna-se:
Equações de forma padrão para hipérbole centradas na origem:
As equações cônicas descritas anteriormente têm todas focos no eixo e, centro ou vértice em . Quando temos um centro genérico em e focos na reta são:
Passo 2
Sabendo disso, vamos para o nosso exercício, onde temos a seguinte equação:
Se somarmos o valor 4 de ambos os lados, temos:
Dividindo por 4, iremos obter a equação da hipérbole:
Temos o substituído por , ou seja, esse valor está deslocado, então teremos o centro como:
Sendo assim .
Passo 3
Pela equação conseguimos definir que e , logo:
Como vimos que o deslocado, teremos o vértice da seguinte maneira:
Logo:
A mesma coisa fazemos para os focos:
Passo 4
E as assíntotas são as duas retas:
Podemos escrever:
Esse exercício foi mais complicadinho, mas já acabamos! Até mais pessoal.
Resposta
Hipérbole: , e , os focos são e as assíntotas são .