Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 25
Considere o problema de valor inicial
- Encontre a solução de deste problema.
- Encontre tal qye quando .
- Encontre o menor valor positivo de , em função de , para o qual .
- Determine o limite da expressão encontrada no item (c) quando .
Passo 1
O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por , onde e são números reais. Supondo como solução , é possível descrever a nossa solução geral.
Passo 2
(a) Usando a ideia do passo 1, temos que
Na qual temos que e .
Assim temos nossa equação característica dada por
Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em
Tendo como solução
Ou
Passo 3
Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que
E tomando a derivada
Onde em , ou seja
Desta forma nossa solução geral se torna
Passo 4
(b) Agora queremos saber quanto vale quando
Ou seja
Isolando temos
Passo 5
(c) Queremos o menor valor positivo de , em função de , para o qual .
Implica em
Que implica
Passo 6
(d) Agora temos que analisar o limite de
Quando temos que o termo dentro do arctan tende a zero. Assim temos que pelo arco trigonométrico , implicando então que