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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 23

Considere o problema de valor inicial

3 u ' ' - u ' + 2 u = 0 ,       u 0 = 2 ,       u ' 0 = 0

  1. Encontre a solução de u ( t ) deste problema.
  2. Para t > 0 , encontre o primeiro instante no qual |u(t)|=10

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

(a) Usando a ideia do passo 1, temos que

3 u ' ' - u ' + 2 u = u ' ' - u ' 3 + 2 3 u = r 2 e r t - r 3 e r t + 2 3 e r t = 0

Na qual temos que u ' ' = r 2 e r t e u ' = r e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + r 3 + 2 3 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = 1 ± 23 i 6

Tendo como solução

u ( t ) = e t 6 c 1 e 23 6 i t + c 2 e - 23 6 i t

Ou

u t = e t 6 C 1 cos ⁡ 23 6 t + C 2 sin ⁡ 23 6 t

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

u 0 = C 1 = 2

E tomando a derivada

u ' t = e t / 6 6   C 1 cos ⁡ 23 6 t + C 2 sin ⁡ 23 6 t + e t 6 23 6 - C 1 sin ⁡ 23 6 t + C 2 cos ⁡ 23 6 t

Onde em u ' 0 = 0 , ou seja

u ' 0 = 1 6 2 + C 2 ⋅ 0 + 23 6 - 2 ⋅ 0 + C 2 = 0

1 3 + 23 6 C 2 = 0 → C 2 = - 2 23

Desta forma nossa solução geral se torna

y ( t ) = e t 6 2 cos ⁡ 23 6 t - 2 23 sin ⁡ 23 6 t

Passo 4

(c) Agora queremos saber quando u t = 10 , ou seja

e t 6 2 cos ⁡ 23 6 t - 2 23 sin ⁡ 23 6 t = 10

Onde graficamente memos que u t = 10 se da em t = 10,7598

Resposta

  1. y ( t ) = e t 6 2 cos ⁡ 23 6 t - 2 23 sin ⁡ 23 6 t
  2. 10,7598
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