Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 26
Resolva o problema de valor inicial.
e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.
Passo 1
A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.
Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem do outro lado. Antes disso, vamos fazer essa substituição:
Assim, temos:
Passo 2
Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados
Integrando dos dois lados, temos:
No enunciado há uma informação de que . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.
Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:
Assim, a equação é:
Passo 3
Ao observarmos a equação acima, vemos que a solução será definida quando submetemos ao intervalo de . Em que é o ângulo da tangente. Dessa forma, calculando a inequação acima, temos como intervalo:
(aproximadamente)
Porém, a solução pedida no enunciado é dada quando, desde que a segunda derivada da função y (y’’) seja maior que zero no intervalo visto, aí teremos um intervalo definido. Assim, vemos como solução do valor mínimo .
Resposta