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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.7 - Ex. 15

Considere o problema de valor inicial

y ' = 3 ⋅ t 2 3 ⋅ y 2 - 4 ,   y 1 = 0

  1. Use o método de Euler com h = 0,1 , para obter valores aproximados da solução em t = 1,2 ; 1,4 ; 1,6   e   1,8 .
  2. Repita o item (a) com h = 0,05 .
  3. Compare os resultados dos itens (a) e (b). Note que eles estão razoavelmente próximos para t = 1,2 ; 1,4   e   1,6 , mas são muito diferentes para t = 1,8 . Note também (da equação diferencial) que a reta tangente à solução é paralela ao eixo dos y quando y = ± 2 3 ≈ ± 1,155 . Explique como isto pode acarretar tal diferença nos valores calculados.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método de Euler, que consiste em um calculo numérico para as equações em que não temos um valor exato, onde o resultado se aproxima cada vez mais do exato de acordo com o passo usado para o calculo. Depois iremos comparar os valores para cada item.

Passo 2

  1. Utilizando o método de Euler, temos que a equação usada é dada por

    2. y n + 1 = y n + f n ⋅ h

    y n + 1 = y n + 3 ⋅ t n 2 3 ⋅ y n 2 - 4 ⋅ h

    Começando com n = 1 , teremos que

    y 2 = 0 + 3 ⋅ 1,2 2 3 ⋅ 0 2 - 4 ⋅ 0,1 = - 0,1080

    Repetindo o mesmo processo até n = 4 , teremos os seguintes resultados

    y 3 = - 0,2563

    y 4 = - 0,4582

    y 5 = - 0,7467

    Passo 3

  2. Para h = 0,05 , temos que

    3. y 2 = - 0 , 0540

    y 3 = - 0 , 1277

    y 4 = - 0 , 2248

    y 5 = - 0 , 3511

    Passo 4

  3. O fato de a reta se tornar paralela ao eixo y nesse ponto se deve ao erro que vai se acumulando para cada calculo dos valores aproximados utilizando o método de Euler.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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