Exercícios de Modelagens com Equação Separável - Lista de Exercícios Resolvida

Considere a lei de resfriamento de Newton, , em que a temperatura do meio ambiente varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja e que a temperatura inicial do meio ambiente seja e , em que seja uma constante.

1. Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante .
2. Qual é o valor limite da temperatura quando ?
3. Qual o valor limite de quando ?

A reta tangente ao gráfico de , no ponto , intercepta o eixo no ponto de ordenada . Determine sabendo que .

Dois compostos químicos e são combinados para formar um terceiro composto . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de e não convertida em . Inicialmente há 40 gramas de e 50 gramas de , e para cada grama de 2 gramas de são usados. É observado que 10 gramas de são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de e depois de um longo período de tempo?

Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 milhas/h (cerca de 241km/h) tem sua velocidade diminuída por um canal de água. Suponha que durante o processo de freagem a aceleração é dada por , onde é a velocidade e é uma constante.

1. Use a relação para escrever a equação de movimento em função de e de .
2. Se é necessária uma distância de 2000 pés (cerca de 609.6m) para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h, determine o valor de
3. Encontre o tempo necessário para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h.

Suponha que um foguete é projetado da superfície da Terra diretamente para cima com velocidade inicial , onde é o raio da Terra. Despreze a resistência do ar.

1. Encontre uma fórmula para a velocidade em função da distância à superfície da Terra.
2. Encontre o tempo necessário para o foguete percorrer 240.000 milhas(a distância aproximada da Terra à Lua). Suponha que milhas

Suponha que no instante , a metade de uma população de coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por da população.

Uma doença rara se espalha em uma aldeia indígena de habitantes, e a taxa de variação das pessoas infectadas é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas. Inicialmente, há apenas uma pessoa infectada, porém após um dia, pessoas estão infectadas. Qual alternativa é o modelo matemático apropriado para estudar a evolução dessa doença?

(a)

(b)

(c)

(d) Nenhuma das outras opções

(e)

Considere uma espécie cuja população no instante satisfaz a equação diferencial seguinte:

1. Se a população inicial , a população tenderá a longo prazo um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual?
2. Se a população inicial , a população tenderá a longo prazo um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual?

Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional a quantidade de bactérias presente em cada instante de tempo, com população inicial segundo a equação diferencial:

1. Encontre a solução geral da equação diferencial
2. Se em horas a população triplica, em quanto tempo ela será vezes o valor inicial.

Um tanque com capacidade para litros está qcheio de água pura. Água salgada contendo de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é agitada e retirada do tanque a mesma taxa. Seja a quantidade de sal no tanque a cada minuto.

Escreva uma equação diferencial que represente a taxa de variação da quantidade de sal no tanque. A taxa de variação de quantidade de sal no tanque é a diferença entre a taxa que entra e a taxa que sai.

Obtenha a solução geral desta equação.

Obtenha a quantidade de sal no tanque após hora.

Calcule

Uma tigela de sopa sai do aparelho de micro-ondas a e é levada para uma sala onde a temperatura é de . A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. Sabemos também que esta sopa esfria a uma taxa de por minuto quando sua temperatura é de :

Escreva a equação diferencial que expressa a lei de resfriamento de Newton nesta situação particular.

Resolva a equação diferencial e determine a temperatura da sopa meia hora após ter chegado à sala.

Esboce um gráfico que represente a temperatura da sopa a partir do momento que chegou a sala.

Determine a função cujo gráfico contém o ponto tal que para todo do gráfico de a área da região seja o dobro da área da região , conforme a figura ao lado.

Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente em cada instante. Supondo que a quantidade inicial de material que seja e que anos depois já tenha desintegrado do material inicial, determine sua meia-vida.

Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente mm e h depois foi reduzido a mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.

A população mundial era de bilhões em e de bilhões em .

Encontre um modelo exponencial para estes dados.

Use o modelo encontrado para prever a população no ano de ( anos depois).

De acordo com o modelo encontrado, quando a população excederá bilhões?

Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presente em cada instante de tempo. Se em quatro horas a população triplica, em quanto tempo ela será vezes a quantidade inicial?

Sabemos que, se uma solução particular da equação ordinária de ordem:

Então é a solução geral, onde satisfaz a equação linear:

Obtenha a partir de , supondo que satisfaz .

Obtenha a solução geral da equação logística

Sabendo que é uma solução particular. Use o resultado acima!

Determine os pontos de equilíbrio desta equação logística, e os classifique quanto a estabilidade.

Teste 11: Considere a EDO

Analise as seguintes afirmações:

1. A função é uma possível solução da EDO tal que .
2. Se é solução da EDO tal que , então para .
3. Sua solução geral é .

São verdadeiras:

1. Apenas .
2. Apenas .
3. Todas.
4. Apenas e .
5. Apenas .

Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estará quadruplicada, supondo-se que a quantidade aplicada aumenta a uma taxa proporcional ao investimento feito a cada instante?

Dica: Assuma que .

Um reservatório contém litro de água salgada com kg de sal dissolvido. Água salgada com kg de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de litros por minuto. Solução é mantida completamente misturada e escoa do tanque a uma taxa de litros por minuto.

1. Escreva uma equação diferencial que represente a taxa de variação da quantidade de sal no tanque a medida que o tempo passa.
2. Resolva a equação diferencial e determine a quantidade de sal minutos após iniciada a experiência.
3. Quanto sal há no tanque após horas.
4. Calcule o limite da quantidade de sal no tanque quando .

Considere o modelo logístico de dinâmica populacional:

onde , são constantes positivas e .

1. Obtenha soluções para o problema de valor inicial ;
2. Esboce o gráfico do espaço de fase para o modelo, e determine os pontos de equilíbrio tal que , e classifique estes pontos como estáveis quando ou instáveis quando

Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis.

( )

( )

( )

( )

( )

Uma colônia de microrganismos aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de indivíduos presentes em cada instante de tempo, com população inicial , segundo a equação

Se em horas a população triplica, em quanto tempo ela será 27 vezes a população inicial?

3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

d)

4. Coloca-se uma barra de metal à temperatura de em um quarto com temperatura constante de . Se, após 20 min, a temperatura da barra é de , determine:

b) A temperatura da barra após 10 min.

5. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de Se após 10 min a temperatura do corpo é de e após 20 min é de , determine a temperatura inicial.

Inicialmente, havia miligramas de uma substância radioativa presente. Após horas a massa diminuiu . Se a taxa de decrescimento é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo, encontre a quantidade remanescente após horas.

7. Determine uma família de curva , , , que satisfazem a seguinte propriedade: no intervalo , a ordenada é proporcional à área determinada pela curva, os eixos coordenados e a reta vertical que contém a abcissa .

8. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se observa que após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial. Determine a meia-vida da substância (meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original).

Sabe-se que um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. Observa-se que um bloco deste material, que originalmente tinha , depois de ficou apenas com r. Encontre uma expressão para a massa do bloco em função do tempo. Calcule a meia-vida do material.

Certa pessoa infectada por uma doença contagiosa introduziu-se numa população saudável

de pessoas. O mal se espalhou por contato, conseguindo-se deduzir a lei de propagação , onde tempo é medido em meses, é o número de pessoas infectadas no instante e é o número de pessoas não infectadas no instante t. Considerando que uma pessoa infectada permanecerá doente durante todo o tempo e que pessoas serão infectadas meses após o início do processo de contágio, pergunta-se: Quanto tempo será necessário para que a metade da população esteja infectada?

Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim

de , cresceu

1. Determine a constante de proporcionalidade

Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Ao fim

de , cresceu

b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?

Determine uma família de curvas , que satisfazem a seguinte

propriedade: no intervalo , a ordenada é proporcional à área determinada pela

curva, os eixos coordenados e a reta vertical que contém a abcissa .

Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se

observa que após , houve uma redução de da quantidade inicial. Determine

a meia-vida da substância (meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a

substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original).

Indique a solução correta da equação diferencial:

( )

( )

( )

( )

( )

Resolva a equação diferencial para como função vetorial de

com a seguinte condição inicial:

Suponha que no instante , a metade de uma população de coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por da população.

A taxa com que o virus da gripe "C" se espalha em uma comunidade é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. No início da prova de Cálculo 2 em uma sala com 60 alunos, tinham 3 alunos gripados e 2 horas depois 35 alunos estavam contaminados. Seja o número de pessoas gripadas após minutos e . O modelo matemático que melhor representa este problema é:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

3) Um objeto é retirado do freezer à temperatura de e colocado em um ambiente cuja temperatura é . Observou-se que depois de a temperatura do objeto era . Quanto tempo a mais será necessário para que a temperatura do objeto seja de ?

Devido a uma maldição rogada por uma tribo inimiga, os membros de uma certa aldeia

são gradualmente impelidos ao assassinato ou suicídio. A taxa de variação da população

é de , quando o número de pessoas é . Quando a maldição foi rogada a população era de pessoas. Quando morrerá toda a população da aldeia?

A população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante dada pela equação

Sabendo que a população inicial é e que a população duplicou em anos, qual é o valor de ?

Um tanque contém litros de água salgada com de sal dissolvido. Água salgada com de sal por lto de água entra no tanque a uma taxa de litros por minuto. A solução é mantida completamente misturada e sai do tanque a uma taxa de 10 litros por minuto.

1. Escreva a equação diferencial que determina a taxa de variação da quantidade de sal em relação ao tempo.
2. Determine a quantidade de sal no tanque minutos após o inicio.
3. Determine a quantidade de sal no tanque minutos após o inicio.
4. Calcule o limite da quantidade de sal no tanque quanto .

Uma cultura de bactérias começa com bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após horas existem bactérias na amostra. Em horas serão:

1. bactérias
2. bactérias
3. bactérias
4. bactérias
5. bactérias

Devido a uma maldição rogada por uma tribo inimiga, os membros de uma certa aldeia são gradualmente impelidos ao assassinato ou suicídio. A taxa de variação da população é de pessoas/mês, quando o número de pessoas é p. Quando a maldição foi rogada a população era de 1600 pessoas. Quando morrerá toda a população da aldeia?

Certa pessoa infectada por uma doença contagiosa introduziu-se numa população saudável de 999 pessoas. O mal se espalhou por contato, conseguindo-se deduzir a lei de propagação y’(t) = βyx onde t = tempo é medido em meses, y(t) é o número de pessoas infectadas no instante t e x(t) é o número de pessoas não infectadas no instante t. Considerando que uma pessoa infectada permanecerá doente durante todo o tempo e que 100 pessoas serão infectadas 12 meses após o início do processo de contágio, pergunta-se: Quanto tempo será necessário para que a metade da população esteja infectada?

Sabe-se que um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. Observa-se que um bloco deste material, que originalmente tinha 100gr, depois de 20 anos ficou apenas com 80gr. Encontre uma expressão para a massa do bloco em função do tempo. Calcule a meia-vida do material.

Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos da mesma no instante satisfaz a equação diferencial:

i) Se encontre(ou estime) o instante no qual a população dobra.

Determine se o tempo no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.

ii) Suponha que a parcela na equação diferencial é substituída por , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população ?