Em coordenadas polares, o momento angular de um corpo em movimento de massa é definido por . Suponha que as coordenadas do corpo sejam e nos intantes e , , respectivamente. Se é constante, mostre que a área varrida por é . Quando o sol é colocado na origem, isso prova a segunda lei de Kepler sobre movimento planetário.
Passo 1
Então pessoal, a equação que nos foi dada é a seguinte:
Para resolvermos essa equação é bem tranquilo, basta separarmos as variáveis e integrar depois, saca só:
Integrando:
Então bora que bora resolver issaí!
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por , teremos:
O membro esquerdo da nossa equação é exatamente a área varrida, ou seja:
E está aí a demonstração!
Resposta
Demonstração.
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Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.41. dy/dx + 5y = 20 , no qual y(0) = 2 .
Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.37. (x + 2)^2 * (dy/dx) = 5 - 8y - 4xy
Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.34. y dx = (y e^y - 2x) dy
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.52. sen(x) * (dy/dx) + cos(x) * y = 0 , no qual y - (pi / 2) = 1 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.50. x * y' + y = e^x , no qual y(1) = 2 .