Em coordenadas polares, o momento angular de um corpo em movimento de massa m é definido por L = m * r^2 * (dθ / dt) . Suponha que as coordenadas do corpo sejam (r1, theta) e (r2, theta) nos intantes t = a e t = b , a < b , respectivamente. Se L é constante, mostre que a área varrida por r é A = L * (b - a) / (2 * m) . Quando o sol é colocado na origem, isso prova a segunda lei de Kepler sobre movimento planetário.

Passo 1

Então pessoal, a equação que nos foi dada é a seguinte:

L = m r 2 d θ d t

Para resolvermos essa equação é bem tranquilo, basta separarmos as variáveis e integrar depois, saca só:

r 2 . d θ d t = L M

r 2 d θ = L M d t

Integrando:

∫ θ 1 θ 2 r 2 d θ = L m ∫ a b d t

Então bora que bora resolver issaí!

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por 1 2 , teremos:

1 2 ∫ θ 1 θ 2 r 2 d θ = 1 2 L m ∫ a b d t

O membro esquerdo da nossa equação é exatamente a área varrida, ou seja:

A = 1 2 L m ∫ a b d t

A = 1 2 . L m b - a

E está aí a demonstração!

Resposta

Demonstração.

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