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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 15

Resolva x (d y)/(d x) + 4 y = x^4 y^2 sujeito a y (1) = 1 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

x (d y)/(d x) + 4 y = x^4 y^2

y^' + (4 y)/(x) = x^3 y^2

E essa é uma equação de Bernoulli. Vamos usar a substituição w = y^(- 1) para transformar essa EDO numa linear...

No caso, temos:

w = u^(- 1) -> y = (1)/(w)

(d w)/(d x) = - y^(- 2) (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = - y^2 (d w)/(d x)

(d y)/(d x) = - (1)/(w^2) (d w)/(d x)

Passo 2

Substituindo isso na nossa EDO, temos:

y^' (4 y)/(x) = x^3 y^2

- (1)/(w^2) (d w)/(d x) + (4)/(x) ((1)/(w)) = x^3 ((1)/(w^2))

w^' - (4)/(x) w = - x^3

Beleza, agora temos uma equação linear, vamos seguir a resolução...

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

w = e^(- int p (x) d x) [int e^(int p (x) d x) q (x) d x]

Onde no nosso caso temos:

p (x) = - (4)/(x)

q (x) = - x^3

Substituindo, ficamos com:

w = e^(- int - (4)/(x) d x) [int e^(int - (4)/(x) d x) * (- x^3) d x]

w = e^(4 ln x) [int e^(- 4 ln x) (- x^3) d x]

w = x^4 [int - x^3 x^(- 4) d x]

w = x^4 [int - (1)/(x) d x]

w = x^4 [ - ln x + C ]

w = - x^4 ln x + C x^4

E resolvemos a equação! 😉

Passo 4

Agora vamos voltar para y :

y = (1)/(w)

y = (1)/(- x^4 ln x + C x^4)

Aplicando a condição inicial agora:

y (1) = 1

1 = (1)/(- 1^4 ln 1 + C (1)^4)

1 = (1)/(C)

C = 1

Então a solução do PVI é:

y = (1)/(- x^4 ln x + x^4)

Prontinho! 😉

Resposta

y = (1)/(- x^4 ln x + x^4)

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24. Use o método do exercício 23 para resolver a equação diferencial x y ' + y = - x y 2 .
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.1. x . d y d x + y = 1 y 2
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.6. 3 1 + x 2 . d y d x = 2 x y y 3 - 1
Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.9. x y 1 + x y 2 . d y d x = 1 , no qual y 1 = 0 .