Resolva x \* dy/dx + 4y = x^4 \* y^2 sujeito a y(1) = 1 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

x d y d x + 4 y = x 4 y 2

y ' + 4 y x = x 3 y 2

E essa é uma equação de Bernoulli. Vamos usar a substituição w = y - 1 para transformar essa EDO numa linear...

No caso, temos:

w = u - 1 → y = 1 w

d w d x =   - y - 2 d u d x

d y d x = - y 2 d w d x

d y d x = - 1 w 2 d w d x

Passo 2

Substituindo isso na nossa EDO, temos:

y ' 4 y x = x 3 y 2

- 1 w 2 d w d x + 4 x   1 w = x 3 1 w 2

w ' - 4 x w = - x 3

Beleza, agora temos uma equação linear, vamos seguir a resolução...

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = - 4 x

q x = - x 3

Substituindo, ficamos com:

w = e - ∫ - 4 x     d x ∫ e ∫ - 4 x   d x ⋅ - x 3   d x

w = e 4 ln ⁡ x ∫ e - 4 ln ⁡ x ⁡ - x 3 d x

w = x 4 ∫ - x 3 x - 4   d x

w = x 4 ∫ - 1 x d x

w = x 4 [ - ln ⁡ x + C ]

w = - x 4 ln ⁡ x + C x 4

E resolvemos a equação! 😉

Passo 4

Agora vamos voltar para y :

y = 1 w

y = 1 - x 4 ln ⁡ x + C x 4

Aplicando a condição inicial agora:

y 1 = 1

1 = 1 - 1 4 ln ⁡ 1 + C 1 4

1 = 1 C

C = 1

Então a solução do PVI é:

y = 1 - x 4 ln ⁡ x + x 4

Prontinho! 😉

Resposta

  y = 1 - x 4 ln ⁡ x + x 4

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