Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.

Bom galerinha!

Já que a gente precisa fazer uma demonstração usando a definição de limite, vamos relembrar dessa definição.

Quando a gente tá falando de limite, não estamos no ponto , nós estamos beeem pertinho dele. Mas sobre isso a gente já tá bem tranquilo ne?

Quão próximo de deverá estar para que difira de por menos que uma tolerância bem pequeno ?

Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir esse limite:

A gente precisa provar o seguinte:

Que dado um pequeno intervalo ao redor de , há de conseguir achar um valorzinho pra , que qualquer dentro desse outro intervalinho retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo .

Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se então

Agora aplicando isso na nossa expressão:

se então

Agora nós precisamos achar que atenda essas condições!

Mas antes de começar, vamos ver o diagrama da figura 9 que o enunciado menciona. Nele da pra ver bem esses intervalos nos 2 eixos e essa história de que um dentro de um intervalo tem que retornar um dentro do outro intervalo. Mas ignora esses números da figura, isso é só o exemplo que o livro usou.