Exercícios de Introdução aos Limites e suas Propriedades - Lista de Exercícios Resolvida

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

Obs: considere

Suponha e. Determine:

Avalie o seguinte limite:

Se , determine:

Calcule os limites:

Aplique as propriedades dos limites e calcule o limite:

Considere a função , dada por , e os números , . Para cada intervalo aberto abaixo, encontre um intervalo aberto , centrado em , com a seguinte propriedade:

Considere a função , dada por:

Construa o gráfico de .

Cada um dos exercícios a) - d) dá uma função , um ponto e um número positivo . Determine . Em seguida, determine um número δ > 0 de modo que para todo x

b.

Prove as afirmações de limite:

Cada um dos exercícios a) - d) dá uma função , um ponto e um número positivo . Determine . Em seguida, determine um número δ > 0 de modo que para todo x

a.

Cada um dos exercícios a) - d) dá uma função , um ponto e um número positivo . Determine . Em seguida, determine um número δ > 0 de modo que para todo x

c.

Cada um dos exercícios a) - d) dá uma função , um ponto e um número positivo . Determine . Em seguida, determine um número δ > 0 de modo que para todo x

d.

Prove as afirmações de limite:

Determine os limites nos seguintes exercícios.

1. Calcule, se existirem, os limites abaixo.

Considere a seguinte proposição: Se , então

1. e é um exemplo para a proposição?
2. A proposição é verdadeira ou falsa?

Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

Considere a função , dada por , e os números , . Para cada intervalo aberto abaixo, encontre um intervalo aberto , centrado em , com a seguinte propriedade:

Calcule:

Calcule ou argumente que os valores não existem. Em todos os casos justifique seus cálculos e respostas.

Usando a definição do limite, provar que

Considere a função , dada por:

b) O que podemos afirmar sobre . Justifique sua resposta.

Considere a função dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

Esboce gráficos e use argumentos de aproximação para calcular os seguintes limites:

b)

1. Calcule, se existirem, os limites abaixo.

Estime algebricamente o valor do limite usando os valores de fornecidos. Use uma calculadora.

1. Calcule o limite, se existir

k.

Calcule os limites abaixo. Justifique suas respostas.

Considere a função

(a) Faça o gráfico de

(b) Utilize o gráfico do item (a) para determinar

(c) Utilize o gráfico do item (a) para determinar

(d) Utilize o gráfico do item (a) para determinar

(e) Utilize o gráfico do item (a) para determinar

(f) Utilize o gráfico do item (a) para determinar

Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine o que se pede.

(a) O domínio de .

(b) e o limite

(c) e o limite

(d) e o limite

(e) e o limite

(f ) e o limite

(g) O que se pode dizer sobre a existência do limite nos pontos ?

1. Calcule o limite, se existir

c.

1) Se a posição de um carro no instante é dada por , então a velocidade média entre os instantes e é dada por

Quanto mais próximo estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em , de modo que essa velocidade vale

Para cada função abaixo, simplifique o quociente que dá a velocidade média entre os intentes e . Em seguida, calcule a velocidade fazendo se aproximar de zero.

(a) , no ponto

(b) , no ponto

(c) , no ponto

(d) , com , , em um ponto genérico.

Dica: para o item (b), lembre que ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por

Questão 1. Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista. justifique suas respostas.

d)

Calcule os limites:

Considere funções com limitada. Assinale a afirmação incorreta

1. Se , para todo e , então
2. Se , então
3. Se , então
4. Se , então
5. Se , então

Considere funções com limitada. Assinale a afirmação incorreta

1. Se , para todo e , então
2. Se , então
3. Se , então
4. Se , então
5. Se , então

11. Determine os limites.

d)

Encontre o valor de para que o seguinte limite exista e calcule o seu valor:

Calcule os seguintes limites

1) Se a posição de um carro no instante é dada por , então a velocidade média entre os instantes e é dada por

Quanto mais próximo estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em , de modo que essa velocidade vale

Para cada função abaixo, simplifique o quociente que dá a velocidade média entre os intentes e . Em seguida, calcule a velocidade fazendo se aproximar de zero.

(a) , no ponto

(b) , no ponto

(c) , no ponto

(d) , com , , em um ponto genérico.

Dica: para o item (b), lembre que ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por

1) Se a posição de um carro no instante é dada por , então a velocidade média entre os instantes e é dada por

Quanto mais próximo estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em , de modo que essa velocidade vale

Para cada função abaixo, simplifique o quociente que dá a velocidade média entre os intentes e . Em seguida, calcule a velocidade fazendo se aproximar de zero.

(a) , no ponto

(b) , no ponto

(c) , no ponto

(d) , com , , em um ponto genérico.

Dica: para o item (b), lembre que ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por

Dada . Suponhamos que . Então:

1. é decrescente
3. , temos se
5. Nenhuma das respostas acima é correta

Calcule o limite

Calcule o limite

Calcule o limite

Calcule o limite

Calcule o limite

11. Determine os limites.

b)

Considere a função , dada por , e os números , . Para cada intervalo aberto abaixo, encontre um intervalo aberto , centrado em , com a seguinte propriedade:

Considere a função , dada por , e os números , . Para cada intervalo aberto abaixo, encontre um intervalo aberto , centrado em , com a seguinte propriedade:

11. Determine os limites.

c)

11. Determine os limites.

g)

Considere a função , dada por , e os números , . Para cada intervalo aberto abaixo, encontre um intervalo aberto , centrado em , com a seguinte propriedade:

11. Determine os limites.

h)

Considere a função , dada por , e os números , . Para cada intervalo aberto abaixo, encontre um intervalo aberto , centrado em , com a seguinte propriedade:

Esboce gráficos e use argumentos de aproximação para calcular os seguintes limites:

Calcule os seguintes limites.Justifique suas respostas.

Considere a função , dada por , e os números , . Para cada intervalo aberto abaixo, encontre um intervalo aberto , centrado em , com a seguinte propriedade:

Esboce gráficos e use argumentos de aproximação para calcular os seguintes limites:

Utilizando apenas as propriedades de limite, que e que , calcule . Comentário 1. Você deve estar se perguntando qual a necessidade desse exercício, já que bastava ter “trocado” x por 2. Daqui algumas aulas aprenderemos uma lista de funções em que podemos calcular limite dessa forma, apenas trocando o x. Essas funções serão chamadas de contínuas. Porém, como ainda não sabemos quem são elas, resolvemos limites com as ferramentas que temos (por enquanto, as propriedades de limites, que e que, em que e não números fixados).

Comentário 2. Imagine que um exercício com enunciado análogo ao que você acabou de fazer peça para usar as propriedades para calcular o limite . Você iria pensar: preciso fazer um monte de etapas como antes para verificar que era só substituir x por −3. Nesse pensamento, você mentalmente usou as propriedades para chegar a essa conclusão de que poderia calcular o limite apenas substituindo x. Esse é o objetivo do próximo exercício: dizer se você pode ou não resolver o limite apenas substituindo (lembre-se de pensar se as propriedades funcionam no item analisado).

Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

a)

Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

e)

O gráfico de uma função está esboçado a seguir

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

5. não existe