Expresse a integral como um limite de somas. Não calcule o limite.

30 .             ∫ 1 10 ( x - 4 ln ⁡ x ) d x

Passo 1

Pessoal, nessa questão nós temos que expressar a seguinte integral

∫ 1 10 ( x - 4 ln ⁡ x ) d x

Como um limite de somas e não precisamos calcular o limite, apenas expressa-lo.

Aqui nós vamos utilizar a definição de integral, que nos diz o seguinte.

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Em que

Δ x = b - a n

e

x i = a + i Δ x

E é só isso mesmo, bora lá?

Passo 2

Calculando o Δ x teremos:

Δ x = b - a n

Δ x = 10 - 1 n = 9 n

E o x i será:

x i = a + i Δ x

x i = 1 + 9 i n

Sendo assim, usando a definição de integral teremos:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

∫ 1 10 x - 4 ln ⁡ x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f 1 + 9 i n 9 n

Substituindo a função f x = x - 4 ln ⁡ x , têm-se:

∫ 1 10 x - 4 ln ⁡ x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n   1 + 9 i n - 4 ln ⁡ 1 + 9 i n ⋅ 9 n

E tá pronto o sorvetinho

Resposta

∫ 1 10 ( x - 4 ln ⁡ x ) d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n   1 + 9 i n - 4 ln ⁡ 1 + 9 i n ⋅ 9 n

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