Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 20
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Olá, querido amigo. Estarei te ajudando nessa atividade.
Aqui a gente vai utilizar a definição formal do limite para provarmos que:
A definição formal do limite diz que:
Seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número , exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende a é , e escrevemos
Se para todo número houver um número tal que:
Se:
Então:
Então o que a gente vai fazer é encontrar um valor para em função de , para que o limite exista. Basicamente podemos dizer que: Eu posso tornar tão próximo de quanto queira, e isso torna tão próximo de , a uma distância , e e estão relacionados entre sim.
É encontrando essa relação e realizando manipulações matemáticas que iremos conseguir resolver.
Passo 2
Vamos comparar então o nosso limite como da definição.
Dado que , nós precisamos achar , tal que se:
Então:
Veja que até aqui só substituímos os valores em comparação com a definição. Onde e
Vamos agora simplificar isso, para que possamos provar o limite:
Realizando o :
Agora iremos retirar do modulo por ser constante e para termos o termo :
O que nos mostra que se:
Então:
Passo 3
Isso nos dá que se nós escolhemos , e substituirmos seu valor, temos que
Substituindo o delta escolhido.
Realizando a divisão:
Colocando o dentro do modulo:
Realizando as manipulações necessárias:
Então partimos de um pressuposto, encontramos um valor para e a partir disso conseguimos voltar para o pressuposto inicial.
Portanto, temos o limite
Resposta
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