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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 28

Derivadas dos produtos mistos

a. Mostre que, se u, v e w são funções vetoriais deriváveis de t , então

d d t ( u → ⋅ v → × w → ) = d d t u → ⋅ v → × w → + u → ⋅ d d t v → × w → + u → ⋅ v → × d d t w →

b. Mostre que

d d t ( r → ⋅ d r → d t × d 2 r → d t 2 ) = r → ⋅ d r → d t × d 3 r → d t 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos lá para mais uma questão?

a.Para resolver essa questão, precisamos usar a regra do produto escalar e do produto vetorial para derivadas:

d d t ( a → ⋅ b → ) = d a → d t ⋅ b → + a → ⋅ d b → d t

d d t ( a → × b → ) = d a → d t × b → + a → × d b → d t

Usando a → = u → e b → = v → × w → no produto escalar, nós ficamos com

d d t ( u → ⋅ v → × w → ) = d u → d t ⋅ ( v → × w → ) + u → ⋅ d ( v → × w → ) d t

Agora, para calcular a derivada no segundo termo, usamos a regra do produto vetorial com a → = v → e b → = w → :

d ( v → × w → ) d t = d v → d t × w → + v → × d w → d t

Assim,

d d t ( u → ⋅ v → × w → ) = d u → d t ⋅ ( v → × w → ) + u → ⋅ d v → d t × w → + u → ⋅ v → × d w → d t

Passo 2

b. Muito bem, agora usamos o resultado do item anterior para u → = r → ,   v → = d r → d t e w → = d 2 r → d t 2

d d t ( r → ⋅ d r → d t × d 2 r → d t 2 ) = d r → d t ⋅ ( d r → d t × d 2 r → d t 2 ) + r → ⋅ d 2 r → d t 2 × d 2 r → d t 2 + r → ⋅ d r → d t × d 3 r → d t 3

Como o produto vetorial de vetores iguais é o vetor nulo, então

d 2 r → d t 2 × d 2 r → d t 2 = 0 →

Além disso, o produto escalar de dois vetores perpendiculares resulta em 0. Mas, o produto vetorial de dois vetores gera um vetor perpendicular aos dois, ou seja, d r → d t × d 2 r → d t 2 é perpendicular tanto a d r → d t quanto d 2 r → d t 2 . Como consequência disso,

d r → d t ⋅ ( d r → d t × d 2 r → d t 2 ) = 0

Assim, a gente fica somente com

d d t ( r → ⋅ d r → d t × d 2 r → d t 2 ) = r → ⋅ d r → d t × d 3 r → d t 3

Espero que vocês tenham curtido essa questão. Até a próxima!

Resposta

Veja a resolução acima