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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 12

Nos Exercícios 9-14, r ( t ) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Em seguida, encontre o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor determinado de t . Escreva a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e versor.

12. r → ( t ) = ( s e c   t ) i → + ( t g     t ) j → + 4 3 t   k → ,   t = π / 6

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem comigo, e com vocês?

Começamos calculando o vetor velocidade. Para isso, tomamos a derivada temporal do vetor posição:

v → = d d t r → ( t ) = d d t ( s e c   t ) i → + d d t ( t g   t ) j → + d d t ( 4 3 t )   k →

v → = ( t g   t   s e c   t )   i → + ( s e c 2   t ) j → + 4 3   k →

Agora, podemos calcular a aceleração tomando a derivada temporal novamente

a → = d d t v → = d d t ( t g   t   s e c   t )   i → + d d t ( s e c 2   t ) j → + d d t ( 4 3 )   k →

a → = s e c   t ( s e c 2   t + t g 2 t )   i → + ( 2   t g   t   s e c 2   t ) j → + 0   k →

Passo 2

Agora, podemos calcular o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula:

| v → | = t g 2   t   s e c 2   t + s e c 4   t + 16 9 = t g 2   t + s e c 2   t s e c 2   t + 16 9

v → | v → | = 1 t g 2   t   +   s e c 2   t s e c 2   t   +   16 9 ( t g   t   s e c   t )   i → + ( s e c 2   t ) j → + 4 3   k →

Para t = π / 6 :

| v → | t = π / 6 = t g 2   t   +   s e c 2   t s e c 2   t   +   16 9 t = π / 6 = 1 3   +   4 3   4 3   +   16 9

| v → | t = π / 6 =   20 9 + 16 9 = 36 9   = 6 3 = 2

e

v → | v → | | t = π / 6 = 1 t g 2   t   +   s e c 2   t s e c 2   t   +   16 9 ( t g   t   s e c   t )   i → + ( s e c 2   t ) j → + 4 3   k → t = π / 6

v → | v → | | t = π / 6 = 1 2 ( 2 3 )   i → + ( 4 3 ) j → + 4 3   k → = 1 3   i → + 2 3 j → + 2 3   k →

Passo 3

Por último, temos que escrever a velocidade da partícula como o produto de sua velocidade e versor, que é v → | v → | :

v e l o c i d a d e   ( π / 6 ) = | v → | v → | v → | = 2 1 3   i → + 2 3 j → + 2 3   k →

Eu me despeço por aqui. Até a próxima!

Resposta

v → = ( t g   t   s e c   t )   i → + ( s e c 2   t ) j → + 4 3   k →

a → = s e c   t ( s e c 2   t + t g 2 t )   i → + ( 2   t g   t   s e c 2   t ) j → + 0   k →

| v → | t = π / 6 = 2

v → | v → | | t = π / 6 = 1 3   i → + 2 3 j → + 2 3   k →

v e l o c i d a d e   ( π / 6 ) = | v → | v → | v → | = 2 1 3   i → + 2 3 j → + 2 3   k →

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