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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 6d

Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.

c) x + 2 y + z = 4 ; P 0 1 , 1 2 , 2 ;   P 1 ( 0 , 1 ,   2 )

Passo 1

Shoow galera, esta aqui também é bem tranquila, mas precisamos parametrizar a equação antes de qualquer coisa, ok?

Para isso vamos chamar:

x = u

y = v

z = 4 - u - 2 v

Então:

r → u ,   v = u ,   v ,   4 - u - 2 v

A equação da reta normal é dada por:

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

O vetor posição será:

r 0 → u 0 , v 0 = 1 , 1 2 , 2

r 1 → u 1 , v 1 = ( 0,1 ,   2 )

Mas ainda precisamos de ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 . E como?

Vamos começar achar u 0 e v 0 , substituindo os valores do ponto:

x = u = 1

y = v = 1 2

Passo 2

Na curva u nós temos:

r → u . 1 2 = u , 1 2 ,   4 - u - 2 × 1 2

r → u . 1 2 = u , 1 2 ,   3 - u

Então:

∂ r → ∂ u P 0 = 1 ,   0 , - 1

Para a v-curva, teremos:

r → 0 . v = 0 ,   v ,   4 - 0 - 2 v

r → 0 . v = 0 ,   v ,   4 - 2 v

Então:

∂ r → ∂ v P 0 = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Agora nós só precisamos substituir:

∂ r → ∂ u P 0 × ∂ r → ∂ v P 0 = 1 ,   0 , - 1 × ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

1 ,   0 , - 1 × ( 0 ,   1 ,   - 2 ) = 0 × - 2 + 1 × 1 ,     - 1 × 0 -   1 × - 2 ,     1 × 1 -   0 × 0

= 1 ,   2 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P 0 × ∂ r → ∂ v P 0 = 1 ,   2 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal no ponto P 0 :

1 , 1 2 , 2 + t 1 ,   2 ,   1

= 1 + t ,     1 2 + 2 t ,     2 + t

Passo 3

A equação da reta tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = ( x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 )

Então:

q → = x - 1 ,   y - 1 2 ,   z - 2

Multiplicando:

1 ,   2 ,   1 × x - 1 ,   y - 1 2 ,   z - 2 = 0

1 x - 1 + 2 y - 1 2 + 1 z - 2 = 0

x + 2 y + z - 4 = 0

Passo 4

Para o próximo ponto vamos achar u 1 e v 1 , substituindo os valores do ponto:

x = u = 0

y = v = 1

Na curva u nós temos:

r → u . 1 = u ,   1 ,   4 - u - 2

r → u . 1 = u ,   1 ,   2 - u

Então:

∂ r → ∂ u P 1 = 1 ,   0 ,   - 1

Para a v-curva, teremos:

r → 0 . v = 0 ,   v ,   4 - 0 - 2 v

r → 0 . v = 0 ,   v ,   4 - 2 v

Então:

∂ r → ∂ v P 1 = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Agora nós só precisamos substituir:

∂ r → ∂ u P 1 × ∂ r → ∂ v P 1 = 1 ,   0 ,   - 1 × ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Então:

1 ,   0 ,   - 1 × ( 0 ,   1 ,   - 2 ) = 0 × - 2 + 1 × 1 ,     - 1 × 0 -   1 × - 2 ,     1 × 1 -   0 × 0

= 1 ,   2 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P 1 × ∂ r → ∂ v P 1 = 1 ,   2 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal no ponto P 1 :

( 0,1 ,   2 ) + t 1 ,   2 ,   1

= ( t ,     1 + 2 t ,     2 + t )

Passo 5

A equação da reta tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = x ,   y - 1 ,   z - 2

Multiplicando:

1 ,   2 ,   1 × x ,   y - 1 ,   z - 2 = 0

x + 2 ( y - 1 ) + ( z - 2 ) = 0

x + 2 y + z - 4 = 0

Gostaram dessa ?!

Resposta

P 0 :   x + 2 y + z - 4 = 0 |     1 + t ,     1 2 + 2 t ,     2 + t ;

P 1 :   x + 2 y + z - 4 = 0         |       ( t ,     1 + 2 t ,     2 + t ) .

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