Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. [Em cada exercício, suponha que f e g sejam funções contínuas distintas de [ a , b ] e que A denote a área da região delimitada pelos gráficos de y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a e x = b .]

Se

∫ a b f x - g x d x = 0

Então os gráficos de y = f ( x ) e y = g ( x ) se cruzam pelo menos uma vez em [ a , b ] .

Passo 1

Vamos refletir: A única forma para duas funções nunca se cruzarem é se sempre uma for maior que a outra:

f x > g ( x )

Ou:

g x > f ( x )

Só que olhando para afirmativa, podemos escrever que:

∫ a b f x - g x d x = ∫ a b f x d x - ∫ a b g x d x = 0

∫ a b f x d x = ∫ a b g x d x

Mas a gente sabe que se sempre temos:

f x > g ( x )

Sempre teremos:

∫ a b f x d x > ∫ a b g x d x

O que não é o que descobrimos que afirmativa também diz. Então se essa integral do enunciado zera, as funções se cruzam em algum ponto, porque uma não é sempre maior que a outra. Tudo verdade.

Resposta

Verdadeira

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