Calcule a integral:

∫ t g   x sec 4 ⁡ x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

∫ t g n x d x = t g n - 1 x n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Vamos refletir um pouco, temos tangente e secante na integral. A gente sabe que:

t g   x ' = sec 2 ⁡ x

Então, é bom a gente tentar fazer aparecer essa secante ao quadrado, e deixar o resto da integral em tangente, porque aí dá para usar uma substituição bonitinha. Como vamos fazer isso?

Primeiro a gente reescreve a integral:

∫ t g   x sec 4 ⁡ x d x = ∫ t g   x sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

E lembra que:

sec 2 x ⁡ = 1 + t g 2 x

Substituindo isso na nossa integral, em um dos termos ao quadrado:

∫ t g 1 2 x   1 + t g 2 x sec 2 ⁡ x d x = ∫ t g 1 2 + t g 5 2 x sec 2 ⁡ x d x

Aí, conseguimos!

Passo 3

Agora é o momento de fazer a substituição bonitinha:

u = t g   x ∴ d u = sec 2 ⁡ x d x

∫ t g 1 2 + t g 5 2 x sec 2 ⁡ x d x = ∫ u 1 2 + u 5 2 d u = 2 3 u 3 2 + 2 7 u 7 2

Voltando para x :

∫ t g   x sec 4 ⁡ x d x = 2 3 t g 3 2 u + 2 7 t g 7 2 u

E não podemos esquecer da constante de integração:

∫ t g   x sec 4 ⁡ x d x = 2 3 t g 3 2 x + 2 7 t g 7 2 x + C

Resposta

∫ t g   x sec 4 ⁡ x d x = 2 3 t g 3 2 x + 2 7 t g 7 2 x + C

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