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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 43

Calcule a integral:

int sqrt(t g x) sec^4 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

int t g^n x d x = (t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int t g^(n - 2) x d x

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Vamos refletir um pouco, temos tangente e secante na integral. A gente sabe que:

(t g x)^' = sec^2 x

Então, é bom a gente tentar fazer aparecer essa secante ao quadrado, e deixar o resto da integral em tangente, porque aí dá para usar uma substituição bonitinha. Como vamos fazer isso?

Primeiro a gente reescreve a integral:

int sqrt(t g x) sec^4 x d x = int sqrt(t g x) sec^2 x sec^2 x d x

E lembra que:

sec^2 x = 1 + t g^2 x

Substituindo isso na nossa integral, em um dos termos ao quadrado:

int t g^((1)/(2)) x (1 + t g^2 x) sec^2 x d x = int (t g^((1)/(2)) + t g^((5)/(2)) x) sec^2 x d x

Aí, conseguimos!

Passo 3

Agora é o momento de fazer a substituição bonitinha:

u = t g x :. d u = sec^2 x d x

int (t g^((1)/(2)) + t g^((5)/(2)) x) sec^2 x d x = int u^((1)/(2)) + u^((5)/(2)) d u = (2)/(3) u^((3)/(2)) + (2)/(7) u^((7)/(2))

Voltando para x :

int sqrt(t g x) sec^4 x d x = (2)/(3) t g^((3)/(2)) u + (2)/(7) t g^((7)/(2)) u

E não podemos esquecer da constante de integração:

int sqrt(t g x) sec^4 x d x = (2)/(3) t g^((3)/(2)) x + (2)/(7) t g^((7)/(2)) x + C

Resposta

int sqrt(t g x) sec^4 x d x = (2)/(3) t g^((3)/(2)) x + (2)/(7) t g^((7)/(2)) x + C

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