Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo , abaixo pela reta acima à esquerda pela curva e acima à direita pela curva

Inicialmente precisamos deixar todas as curvas em relação a uma única variável. Dessa maneira vamos fazer algumas manipulações, ou seja,

E,

Além disso,

Em seguida, esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver temos duas regiões, isto é, de até é a função que está por cima , é a função que está por baixo. Porém a partir de até , é passa a ser a função que está por cima eé a função que está por baixo. Sendo que em ambas as regiões a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Lembrando que quando formos calcular a integral utilizaremos as funções manipuladas que encontramos no passo anterior.

Sendo assim a integral será :

Cujo os limites de integração foram obtidos considerando cada região.

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar.

Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)

Usando o fato de e a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral),

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,